Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −38 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −388 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Satu sistem mesti memberikan setiap satu daripada 1058 item kod perduaan tersendiri dengan panjang yang sama. Apakah bilangan bit terkecil b yang diperlukan?

1058

b = bit

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Dalam berapa daripada 8 baris jadual kebenarannya (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) benar? Panggil nombor ini N.

(b ∨ ¬a) ∧ (b → c)

N =

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x ∃y R(x, y), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∃y ∀x ¬R(x, y)

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Permudahkan F = A′B′ + A′B′C′ + AC′ + A′BC′ kepada bentuk hasil tambah hasil darab minimum. Berapa banyak literal L yang terkandung dalam ungkapan yang dipermudah?

F = A′B′ + A′B′C′ + AC′ + A′BC′

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 10, 15) + d(3, 4), dengan d menandakan keadaan tidak peduli, cari bilangan N implikan perdana penting.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 10, 15) + d(3, 4)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 13 modulo 18: nombor x dengan 0 < x < 18 dan 13·x ≡ 1 (mod 18).

a = 13n = 18

13⁻¹ mod 18 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan nombor perdana p = 31 dan q = 37 serta eksponen awam e = 11. Cari eksponen persendirian d (0 < d < φ(n)).

p = 31q = 37e = 11

d =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Kerumitan masa Fibonacci rekursif naif (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) ialah:

ALogaritma
BMalar
CLinear
DEksponen

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kos masa dan ruang mengira nombor Fibonacci ke-n dengan gelung yang hanya menyimpan dua nilai terakhir?

AMasa O(log n) dan ruang O(n)
BMasa O(n) dan ruang O(n)
CMasa O(2ⁿ) dan ruang O(1)
DMasa O(n) dan ruang O(1)

11.Struktur dataSederhana

Rangkaian jalan raya mempunyai 100,000 persimpangan, masing-masing disambungkan kepada kira-kira 4 yang lain. Perwakilan manakah yang paling sesuai?

ASatu tatasusunan bucu tersusun
BTimbunan binari sisi
CSenarai bersebelahan
DMatriks bersebelahan

12.Struktur dataSukar

Tatasusunan dinamik berganda apabila penuh. Mengapakah banyak pelaksanaan mengecilkannya hanya apabila ia suku penuh, bukan separuh penuh?

AKerana membahagi dua pada separuh akan menghilangkan elemen
BUntuk mengelak perubahan saiz berulang apabila push dan pop berselang-seli berhampiran sempadan
CUntuk mengekalkan tatasusunan tersusun
DKerana pengalokasi memori hanya boleh melepaskan memori dalam suku blok

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₆? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₆

H =

14.Teori grafSukar

Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 3; sisi yang dilangkau tidak dikira.

k = 3

1sisi AB
2sisi AC
3sisi BC
4sisi BD
5sisi CE
6sisi DE
7sisi DF
8sisi BE

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Jadual a mempunyai 3 baris dan jadual b mempunyai 4 baris. Berapa baris yang dipulangkan oleh SELECT * FROM a CROSS JOIN b?

16.Pangkalan data & SQLSukar

x ialah NULL dan y = 1. Apakah nilai syarat (x > 5 OR y = 1)?

ATRUE
BNULL, maka baris sentiasa ditolak
CUNKNOWN
DFALSE

17.Rangkaian komputerSederhana

Bagaimanakah tembok api berkeadaan (stateful) berbeza daripada penapis paket ringkas?

AIa menyulitkan setiap paket yang dimajukannya
BIa menjejaki sambungan dan membenarkan balasan yang tergolong dalam sesi yang telah terjalin
CIa menyekat semua trafik masuk tanpa pengecualian, termasuk balasan kepada permintaan keluar
DIa hanya menyemak alamat MAC setiap bingkai

18.Rangkaian komputerSukar

Bagaimanakah rangkaian penghantaran kandungan (CDN) terutamanya meningkatkan prestasi web?

AIa menyajikan kandungan cache daripada pelayan yang dekat dengan pengguna
BIa meningkatkan lebar jalur sambungan rumah pengguna itu sendiri
CIa menghapuskan keperluan carian DNS
DIa menggantikan TCP dengan protokol pengangkutan yang lebih pantas

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 10.189.126.0/24 dibahagikan kepada subnet sama saiz dengan awalan /30. Berapakah bilangan subnet N?

10.189.126.0/24/30

N =

20.Subnet IPv4Sukar

Satu hos mempunyai alamat 172.20.241.252/21. Apakah oktet ketiga x alamat siaran subnetnya?

172.20.241.252/21

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 218

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

38 = 0010 0110

disongsangkan: 1101 1001

+1 → 1101 1010

Baca sebagai tanpa tanda

1101 1010₂ = 256 − 38 = 218

Jawapan

U = 218

2.Sistem nombor

Jawapan: b = 11 bit

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Kuasa dua

2¹⁰ = 1024 < 1058

2¹¹ = 2048 ≥ 1058

Jawapan

b = 11

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 4

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Jadual kebenaran baris demi baris

a = 1, b = 1, c = 1: ¬a = 0, b ∨ ¬a = 1, b → c = 1, (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: ¬a = 0, b ∨ ¬a = 1, b → c = 0, (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) = 0

a = 1, b = 0, c = 1: ¬a = 0, b ∨ ¬a = 0, b → c = 1, (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: ¬a = 0, b ∨ ¬a = 0, b → c = 1, (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: ¬a = 1, b ∨ ¬a = 1, b → c = 1, (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: ¬a = 1, b ∨ ¬a = 1, b → c = 0, (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: ¬a = 1, b ∨ ¬a = 1, b → c = 1, (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: ¬a = 1, b ∨ ¬a = 1, b → c = 1, (b ∨ ¬a) ∧ (b → c) = 1

Kira baris dengan nilai 1

(b ∨ ¬a) ∧ (b → c): 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1

N = 4

Jawapan

N = 4

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x ∀y ¬R(x, y)

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

Jawapan

∃x ∀y ¬R(x, y)

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 3

Aljabar Boolean: peraturan yang memudahkan ungkapan ialah X + X′ = 1 dan X·X′ = 0, X + X = X, penyerapan X + X·Y = X, peraturan penggabungan X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y dan teorem konsensus XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Hukum De Morgan menukar (X·Y)′ kepada X′ + Y′ dan (X + Y)′ kepada X′·Y′. Peta Karnaugh menggunakan peraturan ini secara grafik: setiap kumpulan dua sel berjiran ialah satu penggunaan XY + XY′ = X.

Minterm ungkapan

A′B′ → m(0, 1)

A′B′C′ → m(0)

AC′ → m(4, 6)

A′BC′ → m(2)

Kumpulkan dan baca

F = C′ + A′B′

Kira literal

L = 3

Jawapan

L = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

B′CD′, A′B′D, A′B′C, ABCD

Implikan perdana penting

B′CD′, A′B′D, ABCD

N = 3

Jawapan

N = 3

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 13⁻¹ mod 18 = 7

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·13 (mod 18).

r = 18, t = 0

r = 13, q = 1, t = 1

r = 5, q = 2, t = −1

r = 3, q = 1, t = 3

r = 2, q = 1, t = −4

r = 1, q = 2, t = 7

Songsangan

1 ≡ 7·13 (mod 18)

x = 7

semakan: 13·7 = 91 = 5·18 + 1

Jawapan

13⁻¹ mod 18 = 7

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: d = 491

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Modulus dan totien

n = 31·37 = 1147

φ(n) = 30·36 = 1080

Algoritma Euclid lanjutan

r = 1080, t = 0

r = 11, q = 98, t = 1

r = 2, q = 5, t = −98

r = 1, q = 2, t = 491

Eksponen persendirian

d = 491

Kira

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Jawapan

H = 60

14.Teori graf

Jawapan: sisi CE

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

1. DF (1)

2. BC (2)

3. CE (4)

4. BD (8)

5. AB (9)

CDN meletakkan salinan kandungan di banyak lokasi tepi dan mengarahkan pengguna, selalunya melalui DNS, ke pelayan berdekatan. Ini mengurangkan kependaman dan beban pada asal.

Jawapan

A · Ia menyajikan kandungan cache daripada pelayan yang dekat dengan pengguna

19.Subnet IPv4

Jawapan: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Bit yang dipinjam

30 − 24 = 6

Bilangan subnet

N = 2⁶ = 64

Jawapan

N = 64

Setiap subnet /30 mempunyai 2² − 2 = 2 hos boleh guna.

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 247

Saiz blok dalam oktet ketiga

2³ = 8

Subnet hos ini

rangkaian: 172.20.240.0

siaran: 172.20.247.255

Jawapan

x = 247

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals