Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −69 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −698 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Apakah integer paling negatif N yang boleh disimpan dalam pelengkap dua 24-bit?

24 bit

N =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Anda hendak membuktikan ¬q → (p ∨ r) secara kontrapositif. Implikasi manakah yang anda buktikan sebagai gantinya? Klik implikasi itu.

¬q → (p ∨ r)

1¬q ∧ ¬(p ∨ r)
2¬¬q → ¬(p ∨ r)
3¬(p ∨ r) → ¬¬q
4(p ∨ r) → ¬q

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x (A(x) ∨ B(x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x (A(x) ∨ B(x))

1∃x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
2∀x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
3∀x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
4∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Multipleks 4-ke-1 mempunyai input pilih S₁ = A dan S₀ = B, dan input datanya diikat kepada I₀ = 1, I₁ = C, I₂ = 0, I₃ = 1. Bagi berapa daripada 8 gabungan A, B dan C output F = 1? Cari N.

I₀ = 1I₁ = CI₂ = 0I₃ = 1

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Pembilang gelang dibuat daripada 4 flip-flop D dengan output terakhir disuap balik ke input pertama, dan bermula dengan satu 1. Berapa banyak keadaan berbeza N yang dilaluinya?

n = 4

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari fungsi totien Euler φ(289), bilangan integer dari 1 hingga 289 yang perdana relatif dengan 289.

n = 289 = 17²

φ(289) =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Berapa banyak penyelesaian N yang ada pada 18x ≡ 20 (mod 28) dalam {0, 1, …, 27}?

18x ≡ 20 (mod 28)

N =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

AO(n)
BO(log n)
CO(n²)
DO(n log n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Untuk menunjukkan bahawa masalah baharu X ialah NP-sukar, apakah yang mesti anda lakukan?

AMenunjukkan bahawa X boleh disahkan dalam masa polinomial
BMenurunkan X kepada masalah NP-sukar yang diketahui dalam masa polinomial
CMenurunkan masalah NP-sukar yang diketahui kepada X dalam masa polinomial
DMenunjukkan bahawa X tidak mempunyai algoritma polinomial untuk input kecil

11.Struktur dataSederhana

Anda mempunyai rujukan kepada nod di tengah senarai. Dalam senarai manakah anda boleh membuangnya dalam O(1)?

ASenarai berpaut tunggal
BSenarai berpaut dua hala
CTatasusunan tersusun
DTatasusunan dinamik

12.Struktur dataSukar

Mengapakah pelayan mungkin memilih fungsi cincangnya secara rawak daripada keluarga universal?

AUntuk menjadikannya sangat tidak mungkin penyerang dapat memilih banyak kunci yang semuanya berlanggar
BUntuk menjamin bahawa tiada dua kunci boleh berlanggar, apa pun kunci yang dihantar penyerang
CUntuk menjadikan jadual cincang tersusun
DUntuk menghapuskan keperluan mengubah saiz jadual

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₇? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₇

H =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Pertanyaan manakah yang menyenaraikan pelanggan yang tidak pernah membuat pesanan?

ASELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id = NULL
BSELECT c.name FROM customers c INNER JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
CSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NOT NULL
DSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL

16.Pangkalan data & SQLSukar

Apakah yang dipulangkan oleh SELECT name, dept, AVG(salary) OVER (PARTITION BY dept) FROM emp?

ARalat kerana name tiada dalam GROUP BY
BSatu baris bagi setiap jabatan dengan gaji puratanya
CHanya pekerja yang berpendapatan melebihi purata jabatan mereka
DSetiap baris pekerja bersama gaji purata jabatan mereka

17.Rangkaian komputerSederhana

Mengapakah suis kadangkala menghantar bingkai keluar melalui semua port kecuali port tempat bingkai itu masuk?

ABingkai terlalu besar untuk satu port
BBingkai mempunyai hasil tambah semak IP yang salah dan mesti disemak oleh setiap hos
CAlamat MAC destinasi belum ada dalam jadual alamatnya
DSuis bertindak sebagai penghala

18.Rangkaian komputerSukar

Seorang pelajar menjalankan pelayan permainan pada PC di belakang penghala NAT rumah. Rakan di internet tidak dapat menyambung. Apakah pembetulan lazim?

AKonfigurasi pemajuan port pada penghala ke alamat persendirian PC
BTukar topeng subnet PC kepada /32
CBerikan PC alamat MAC yang berbeza supaya penghala dapat mencarinya dari luar
DMatikan klien DNS PC

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 490 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

490 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.219.202/25. Apakah oktet keempat x bagi alamat hos boleh guna yang terakhir dalam subnetnya?

10.20.219.202/25

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 187

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

69 = 0100 0101

disongsangkan: 1011 1010

+1 → 1011 1011

Baca sebagai tanpa tanda

1011 1011₂ = 256 − 69 = 187

Jawapan

U = 187

2.Sistem nombor

Jawapan: N = −8.389 × 10⁶

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Nilai paling negatif

−2²³ = −8388608

Jawapan

N = −8388608

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬(p ∨ r) → ¬¬q

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Bahagian implikasi

a = ¬q, b = p ∨ r

Kontrapositif

¬b → ¬a = ¬(p ∨ r) → ¬¬q

Jawapan

¬(p ∨ r) → ¬¬q

Kontrapositif setara dengan pernyataan asal, maka membuktikannya membuktikan pernyataan itu.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

Jawapan

∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 5

Multipleks: multipleks 2ⁿ-ke-1 menyalurkan satu input datanya ke output; talian pilih, dibaca sebagai nombor perduaan, menentukan yang mana satu. Untuk MUX 4-ke-1 dengan pilih S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Mengikat input data kepada 0, 1, C atau C′ membolehkan MUX menghasilkan sebarang fungsi bagi A, B dan C, yang merupakan cara lazim untuk membina logik dengan satu cip.

Ungkapan output

F = A′B′ + A′BC + AB

Baris dengan F = 1

ABC = 000, 001, 011, 110, 111

N = 5

Jawapan

N = 5

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Urutan untuk 4 flip-flop

1000 → 0100 → 0010 → 0001

Bilangan keadaan

N = 4

Jawapan

N = 4

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: φ(289) = 272

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Faktor perdana

289 = 17²

Totien

φ(289) = 289 − 17 = 272

Jawapan

φ(289) = 272

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: N = 2

Bahagi dengan gcd

gcd(18, 28) = 2

9x ≡ 10 (mod 14)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

9⁻¹ ≡ 11 (mod 14) → x ≡ 12 (mod 14)

Penyelesaian modulo 28

x ∈ {12, 26}

Kira

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Jawapan

H = 360

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 24

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 13, C: 5

C (5): E: 17, G: 13

B (13): D: 20

G (13)

E (17): F: 31

D (20): F: 24

F (24)

Laluan terpendek

A → B → D → F

Bit hos yang diperlukan

2⁸ − 2 = 254 < 490

2⁹ − 2 = 510 ≥ 490 → h = 9

Panjang awalan

p = 32 − 9 = 23

Jawapan

p = /23

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 254

Saiz blok

2⁷ = 128

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊202/128⌋·128 = 128

siaran: 128 + 128 − 1 = 255

hos boleh guna: 129 … 254

Jawapan

x = 254

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals