Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −64 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −648 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 0101 1110 AND 0100 1101. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

0101 1110AND0100 1101

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan q → r? Klik formula itu.

q → r

1¬q → ¬r
2r → q
3¬q ∨ r
4q ∨ ¬r

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan ¬(((p ∨ ¬s) ∨ q) → (r ↔ s)) benar? Panggil nombor ini N.

¬(((p ∨ ¬s) ∨ q) → (r ↔ s))

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Multipleks 4-ke-1 mempunyai input pilih S₁ = A dan S₀ = B, dan input datanya diikat kepada I₀ = C, I₁ = 0, I₂ = C, I₃ = C′. Bagi berapa daripada 8 gabungan A, B dan C output F = 1? Cari N.

I₀ = CI₁ = 0I₂ = CI₃ = C′

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Cari bentuk SOP minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 8, 13, 14, 15) + d(10, 11), dengan d menandakan keadaan tidak peduli. Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 8, 13, 14, 15) + d(10, 11)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari fungsi totien Euler φ(153), bilangan integer dari 1 hingga 153 yang perdana relatif dengan 153.

n = 153 = 3²·17

φ(153) =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 84x ≡ 2 (mod 86). Beri penyelesaian positif terkecil x.

84x ≡ 2 (mod 86)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lakukan kerja O(1)?

AO(n²)
BO(n³)
CO(n log n)
DO(n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Bagaimanakah n! dan 2ⁿ dibandingkan untuk n yang besar?

AKeduanya tumbuh pada kadar yang sama
Bn! ialah O(n²)
Cn! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ
D2ⁿ tumbuh lebih pantas daripada n!

11.Struktur dataSederhana

Apakah yang benar tentang matriks bersebelahan bagi graf tidak berarah?

AIa sentiasa segi tiga atas
BPepenjuru utamanya sentiasa mengandungi satu
CIa simetri pada pepenjuru utama
DSetiap baris mempunyai tepat satu 1

12.Struktur dataSukar

Struktur manakah yang membolehkan anda mengira maksimum setiap tetingkap bersaiz k dalam tatasusunan dalam jumlah O(n)?

ADeque yang menyimpan indeks mengikut susunan nilai menurun
BTatasusunan tersusun yang dikemas kini dengan menganjak
CTimbunan min yang dibina semula bagi setiap tetingkap
DSenarai berpaut tunggal elemen tetingkap

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 6|E| = 7

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Algoritma Prim membina pokok rentang minimum bermula dari bucu G. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 2.

mula: Gk = 2

1sisi AB
2sisi AC
3sisi BC
4sisi BD
5sisi CE
6sisi DE
7sisi DF
8sisi EF
9sisi GB
10sisi GC

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Bentuk normal ketiga (3NF) menghapuskan:

AKunci gubahan
BIndeks berlebihan pada lajur yang bukan sebahagian daripada kunci
CNilai atomik
DKebergantungan transitif antara atribut bukan kunci

16.Pangkalan data & SQLSukar

Ciri SQL manakah yang paling sesuai untuk mencari setiap pekerja di bawah seorang pengurus dalam pokok organisasi berkedalaman tidak diketahui?

AGROUP BY pada manager_id
BKekangan UNIQUE pada manager_id
CUngkapan jadual lazim rekursif (WITH RECURSIVE)
DSatu cantuman kendiri jadual employees pada manager_id

17.Rangkaian komputerSederhana

HTTP tidak berkeadaan (stateless). Bagaimanakah laman web lazimnya mengekalkan pengguna log masuk merentasi permintaan?

ADengan menyimpan kata laluan dalam URL
BDengan kuki yang menyimpan pengecam sesi atau token
CDengan memberikan setiap pengguna alamat IP tetap
DDengan mengekalkan sambungan TCP terbuka selama berhari-hari

18.Rangkaian komputerSukar

Anda mesti membahagikan 192.168.1.0/24 kepada sekurang-kurangnya 5 subnet dengan sehingga 25 hos setiap satu. Panjang awalan manakah yang paling sesuai?

A/27
B/26
C/28
D/25

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.10.0/24 mesti dibahagikan kepada sekurang-kurangnya 5 subnet yang sama saiz. Jika anda meminjam bit sesedikit mungkin, berapakah hos boleh guna H bagi setiap subnet?

192.168.10.0/245 subnets

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Satu hos mempunyai alamat 172.20.62.223/19. Apakah oktet ketiga x alamat siaran subnetnya?

172.20.62.223/19

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 192

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

64 = 0100 0000

disongsangkan: 1011 1111

+1 → 1100 0000

Baca sebagai tanpa tanda

1100 0000₂ = 256 − 64 = 192

Jawapan

U = 192

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 76

Bit demi bit

AND memberikan 1 hanya di mana kedua-dua bit ialah 1.

0101 1110

AND 0100 1101

= 0100 1100

Nilai hasil

0100 1100₂ = 76

Jawapan

R = 76

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬q ∨ r

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0, maka ia sama dengan ¬a ∨ b.

q → r ≡ ¬q ∨ r

Semak dengan jadual kebenaran

q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

q = 1, r = 0: 0 | 1 1 0 1

q = 0, r = 1: 1 | 0 0 1 0

q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

Jawapan

¬q ∨ r

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 7

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

¬s; p ∨ ¬s; (p ∨ ¬s) ∨ q; r ↔ s; ((p ∨ ¬s) ∨ q) → (r ↔ s); ¬(((p ∨ ¬s) ∨ q) → (r ↔ s))

Pecahkan pada p

p = 1: 4

p = 0: 3

N = 4 + 3 = 7

Jawapan

N = 7

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Multipleks: multipleks 2ⁿ-ke-1 menyalurkan satu input datanya ke output; talian pilih, dibaca sebagai nombor perduaan, menentukan yang mana satu. Untuk MUX 4-ke-1 dengan pilih S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Mengikat input data kepada 0, 1, C atau C′ membolehkan MUX menghasilkan sebarang fungsi bagi A, B dan C, yang merupakan cara lazim untuk membina logik dengan satu cip.

Ungkapan output

F = A′B′C + AB′C + ABC′

Baris dengan F = 1

ABC = 001, 101, 110

N = 3

Jawapan

N = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 5

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

B′CD, AC, A′B′D, AB′D′, ABD, A′BC′D′

Liputan minimum

F = AC + A′B′D + AB′D′ + ABD + A′BC′D′

N = 5

Jawapan

N = 5

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: φ(153) = 96

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Faktor perdana

153 = 3²·17

Totien

φ(153) = φ(17)·φ(9) = 16·6 = 96

Jawapan

φ(153) = 96

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 42

Bahagi dengan gcd

gcd(84, 86) = 2

42x ≡ 1 (mod 43)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

42⁻¹ ≡ 42 (mod 43) → x ≡ 42 (mod 43)

Penyelesaian modulo 86

x ∈ {42, 85}

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Bucu ganjil

C, D, E, F → 4

tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya

14.Teori graf

Jawapan: sisi GC

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Prim

1. GB (5)

2. GC (9)

3. AC (1)

4. BD (11)

5. DF (2)

6. DE (6)

/27 memberikan 8 subnet dengan 30 hos yang boleh digunakan setiap satu. /26 hanya memberikan 4 subnet, dan /28 hanya membenarkan 14 hos bagi setiap subnet.

Jawapan

A · /27

19.Subnet IPv4

Jawapan: H = 30

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit untuk dipinjam

2³ = 8 ≥ 5 → b = 3, /27

Hos bagi setiap subnet

2⁵ − 2 = 30

Jawapan

H = 30

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 63

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Saiz blok dalam oktet ketiga

2⁵ = 32

Subnet hos ini

rangkaian: 172.20.32.0

siaran: 172.20.63.255

Jawapan

x = 63

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals