Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1000 0111 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1000 01118 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1011 1000 >> 2. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1011 1000>> 2

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah ¬((q ∧ r) → q) tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

¬((q ∧ r) → q)

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Hujah dengan premis a → c; c dan kesimpulan a adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.

a → cc∴ a

1a = 1, c = 1
2a = 1, c = 0
3a = 0, c = 1
4a = 0, c = 0

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 15). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 15)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop JK dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 7 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0JK

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 55 modulo 68: nombor x dengan 0 < x < 68 dan 55·x ≡ 1 (mod 68).

a = 55n = 68

55⁻¹ mod 68 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 20x ≡ 40 (mod 90). Beri penyelesaian positif terkecil x.

20x ≡ 40 (mod 90)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lakukan kerja O(1)?

AO(n³)
BO(n²)
CO(n log n)
DO(n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kerumitan masa membina timbunan binari daripada n elemen tidak tersusun dengan kaedah bawah-atas?

AO(n)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(log n)

11.Struktur dataSederhana

Mengapakah menyusuri tatasusunan selalunya jauh lebih pantas dalam praktik berbanding menyusuri senarai berpaut yang sama panjang?

AElemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik
BTraversal tatasusunan O(1) secara keseluruhan manakala traversal senarai berpaut O(n)
CTatasusunan menggunakan lebih sedikit arahan untuk membandingkan nilai
DSenarai berpaut sentiasa menyimpan elemen pada cakera

12.Struktur dataSukar

Apakah jaminan yang diberikan oleh peraturan pokok merah-hitam tentang ketinggian pokok dengan n kunci?

AKetinggian paling banyak log₂ n + 1
BKetinggian paling banyak n / 2
CKetinggian paling banyak 2 log₂(n + 1)
DKetinggian tepat log₂ n

13.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 17 bucu dan 17 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 17|E| = 17

k =

14.Teori grafSukar

Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 2; sisi yang dilangkau tidak dikira.

k = 2

1sisi AB
2sisi AC
3sisi BC
4sisi BD
5sisi CE
6sisi DE
7sisi EF
8sisi BE

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Jadual a mempunyai 3 baris dan jadual b mempunyai 4 baris. Berapa baris yang dipulangkan oleh SELECT * FROM a CROSS JOIN b?

16.Pangkalan data & SQLSukar

Pangkalan data pelaporan menyalin nama pelanggan ke dalam jadual orders untuk mengelak cantuman. Apakah kos utama denormalisasi ini?

APangkalan data tidak boleh menggunakan indeks lagi
BKunci utama tidak lagi boleh digunakan
CSalinan berlebihan mesti dikekalkan konsisten setiap kali data pelanggan berubah
DPertanyaan pada jadual orders menjadi lebih perlahan

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah alamat rangkaian bagi hos 192.168.10.77/26?

A192.168.10.76
B192.168.10.128
C192.168.10.64
D192.168.10.0

18.Rangkaian komputerSukar

Dalam sambungan TCP, apakah yang dikawal oleh tetingkap penerimaan (rwnd)?

ABerapa banyak data tanpa pengakuan yang boleh dihantar oleh penghantar, berdasarkan penimbal penerima
BBilangan port yang terbuka
CSaiz setiap pengepala paket IP
DMasa tamat penghantaran semula, yang dikira daripada masa perjalanan pergi balik yang diukur bagi setiap segmen

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 10.30.140.0/24 dibahagikan kepada subnet sama saiz dengan awalan /29. Berapakah bilangan subnet N?

10.30.140.0/24/29

N =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.92.230/25. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.92.230/25

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −121

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 4 + 2 + 1 = −121

Jawapan

N = −121

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 46

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

Anjak ke kanan sebanyak 2 menggerakkan setiap bit 2 tempat ke kanan; bit yang jatuh dari hujung kanan hilang dan sifar masuk di sebelah kiri.

1011 1000 >> 2

= 0010 1110

Nilai hasil

0010 1110₂ = 46

Jawapan

R = 46

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: percanggahan

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

q = 1, r = 1: q ∧ r = 1, (q ∧ r) → q = 1, ¬((q ∧ r) → q) = 0

q = 1, r = 0: q ∧ r = 0, (q ∧ r) → q = 1, ¬((q ∧ r) → q) = 0

q = 0, r = 1: q ∧ r = 0, (q ∧ r) → q = 1, ¬((q ∧ r) → q) = 0

q = 0, r = 0: q ∧ r = 0, (q ∧ r) → q = 1, ¬((q ∧ r) → q) = 0

Kelaskan

¬((q ∧ r) → q): 0, 0, 0, 0

0 dalam setiap baris: percanggahan.

Jawapan

percanggahan

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: a = 0, c = 1

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

a = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, c = 0: 0 0 | 1

a = 0, c = 1: 1 1 | 0

a = 0, c = 0: 1 0 | 0

Contoh penyangkal

a = 0, c = 1

Jawapan

a = 0, c = 1

Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 19

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

BCD

A′CD

AC′D

A′BC

ABC′

A′B′C′D′

Bentuk SOP minimum

F = BCD + A′CD + AC′D + A′BC + ABC′ + A′B′C′D′

L = 19

Jawapan

L = 19

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop JK: 00 kekal, 01 set semula (Q = 0), 10 set (Q = 1), 11 bertukar keadaan.

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 1, K = 0 → Q = 1

3: J = 1, K = 1 → Q = 0

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 1, K = 1 → Q = 1

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 0, K = 0 → Q = 1

Kira perubahan

0 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 1 → 1

N = 3

Jawapan

N = 3

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 55⁻¹ mod 68 = 47

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·55 (mod 68).

r = 68, t = 0

r = 55, q = 1, t = 1

r = 13, q = 4, t = −1

r = 3, q = 4, t = 5

r = 1, q = 3, t = −21

Songsangan

1 ≡ −21·55 (mod 68)

x = 47

semakan: 55·47 = 2585 = 38·68 + 1

Jawapan

55⁻¹ mod 68 = 47

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 2

Bahagi dengan gcd

gcd(20, 90) = 10

2x ≡ 4 (mod 9)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

2⁻¹ ≡ 5 (mod 9) → x ≡ 2 (mod 9)

Penyelesaian modulo 90

x ∈ {2, 11, 20, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83}

Sisi pokok rentang

17 − 1 = 16

Sisi untuk dibuang

k = 17 − 16 = 1

Jawapan

k = 1

14.Teori graf

Jawapan: sisi AB

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

1. BD (1)

2. AB (2)

3. EF (3)

4. CE (4)

5. BE (5)

Penerima mengumumkan berapa banyak ruang penimbal yang dimilikinya; penghantar mengehadkan data tanpa pengakuan dengan sewajarnya, menghalang penerima daripada terlebih beban.

Jawapan

A · Berapa banyak data tanpa pengakuan yang boleh dihantar oleh penghantar, berdasarkan penimbal penerima

19.Subnet IPv4

Jawapan: N = 32

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Bit yang dipinjam

29 − 24 = 5

Bilangan subnet

N = 2⁵ = 32

Jawapan

N = 32

Setiap subnet /29 mempunyai 2³ − 2 = 6 hos boleh guna.

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 128

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2⁷ = 128

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊230/128⌋·128 = 128

siaran: 128 + 128 − 1 = 255

hos boleh guna: 129 … 254

Jawapan

x = 128

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals