Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1111 0101 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1111 01018 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 512 × 512 piksel dengan 8 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

512 × 512 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan b ↔ a? Klik formula itu.

b ↔ a

1b ∧ a
2(b → a) ∧ (a → b)
3(b → a) ∨ (a → b)
4(b → a) ∧ (¬a → ¬b)

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∃x (F(x) → G(x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∃x (F(x) → G(x))

1∀x (F(x) → ¬G(x))
2∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
3∀x (¬F(x) → ¬G(x))
4∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Multipleks 4-ke-1 mempunyai input pilih S₁ = A dan S₀ = B, dan input datanya diikat kepada I₀ = 0, I₁ = C, I₂ = C′, I₃ = 1. Bagi berapa daripada 8 gabungan A, B dan C output F = 1? Cari N.

I₀ = 0I₁ = CI₂ = C′I₃ = 1

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Cari bentuk SOP minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(6, 8, 9, 11, 15) + d(1, 5, 10, 13), dengan d menandakan keadaan tidak peduli. Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya?

F(A, B, C, D) = Σm(6, 8, 9, 11, 15) + d(1, 5, 10, 13)

L =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Selesaikan 9x ≡ 3 (mod 32). Beri penyelesaian x dengan 0 < x < 32.

9x ≡ 3 (mod 32)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan p = 5, q = 43 dan e = 11. Nyahsulit teks sulit c = 122: cari mesej m.

p = 5q = 43e = 11c = 122

m =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lakukan kerja O(1)?

AO(n³)
BO(n)
CO(n²)
DO(n log n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Takrifan kelas P yang manakah betul?

AMasalah yang penyelesaiannya boleh disemak tetapi tidak pernah dapat dicari dalam masa polinomial
BMasalah yang memerlukan masa eksponen pada setiap komputer
CMasalah keputusan yang boleh diselesaikan oleh algoritma deterministik dalam masa polinomial
DMasalah yang boleh diselesaikan secara selari

11.Struktur dataSederhana

Trie (pokok awalan) amat cekap untuk:

AMengisih nombor
BMencari laluan terpendek
CMenyimpan matriks
DCarian awalan seperti autolengkap

12.Struktur dataSukar

Apakah masa larian carian pertama lebar pada graf dengan V bucu yang disimpan sebagai matriks bersebelahan?

AO(V)
BO(V + E)
CO(E log V)
DO(V²)

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 6

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah maksud kebergantungan fungsi A → B?

ASetiap nilai A dikaitkan dengan tepat satu nilai B
BA ialah kunci asing yang merujuk B
CA dan B kedua-duanya kunci utama
DSetiap nilai B dikaitkan dengan tepat satu nilai A

16.Pangkalan data & SQLSukar

Untuk cantuman kesamaan antara dua jadual besar tanpa indeks berguna, algoritma cantuman manakah yang sering dipilih oleh pengoptimum?

ACross join
BHash join
CNested loop join dengan carian indeks
DBitmap join pada kunci utama

17.Rangkaian komputerSederhana

Kaedah capaian medium manakah yang digunakan oleh Ethernet kongsi klasik (separuh dupleks)?

ATDMA
BPemindahan token
CCSMA/CD
DCSMA/CA

18.Rangkaian komputerSukar

Dengan protokol tetingkap gelongsor, bagaimanakah Go-Back-N berbeza daripada Selective Repeat selepas satu bingkai hilang?

AKedua-duanya tidak pernah menghantar semula bingkai yang hilang
BGo-Back-N hanya menghantar semula bingkai yang hilang; Selective Repeat menghantar semula bingkai itu dan semua bingkai kemudian
CKedua-duanya menghantar semula seluruh tetingkap dari awal
DGo-Back-N menghantar semula bingkai yang hilang dan semua bingkai kemudian; Selective Repeat hanya yang hilang

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.156.0/24 dibahagikan kepada subnet /26, bernombor 1, 2, 3, … dari alamat terendah (subnet 1 bermula pada .0). Apakah oktet keempat x alamat siaran subnet 3?

192.168.156.0/24/26subnet 3 (subnet 1 bermula pada .0)

x =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.108.103/30. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.108.103/30

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −11

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 1 = −11

Jawapan

N = −11

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 256 KiB

Bit dan bait

512·512·8 = 2097152 bit = 262144 B

Tukar kepada KiB

262144/1024 = 256 KiB

Jawapan

M = 256 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: (b → a) ∧ (a → b)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

a ↔ b bermaksud implikasi itu benar dalam kedua-dua arah: (a → b) ∧ (b → a).

b ↔ a ≡ (b → a) ∧ (a → b)

Semak dengan jadual kebenaran

a = 1, b = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0: 0 | 0 0 1 1

a = 0, b = 1: 0 | 0 0 1 0

a = 0, b = 0: 1 | 0 1 1 1

Jawapan

(b → a) ∧ (a → b)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∃x (F(x) → G(x)) ≡ ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

Jawapan

∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Multipleks: multipleks 2ⁿ-ke-1 menyalurkan satu input datanya ke output; talian pilih, dibaca sebagai nombor perduaan, menentukan yang mana satu. Untuk MUX 4-ke-1 dengan pilih S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Mengikat input data kepada 0, 1, C atau C′ membolehkan MUX menghasilkan sebarang fungsi bagi A, B dan C, yang merupakan cara lazim untuk membina logik dengan satu cip.

Ungkapan output

F = A′BC + AB′C′ + AB

Baris dengan F = 1

ABC = 011, 100, 110, 111

N = 4

Jawapan

N = 4

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 8

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

C′D, AD, AB′, A′BCD′

Liputan minimum

F = AD + AB′ + A′BCD′

L = 8

Jawapan

L = 8

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 11

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Songsangan 9

r = 32, t = 0

r = 9, q = 3, t = 1

r = 5, q = 1, t = −3

r = 4, q = 1, t = 4

r = 1, q = 4, t = −7

9⁻¹ ≡ 25 (mod 32)

Selesaikan

x ≡ 25·3 = 75 ≡ 11 (mod 32)

semakan: 9·11 = 99 ≡ 3 (mod 32)

Jawapan

x = 11

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: m = 178

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen persendirian

n = 215, φ(n) = 168

d = 11⁻¹ mod 168 = 107

Nyahsulit dengan kuasa dua berulang

107 = 64 + 32 + 8 + 2 + 1

122¹ ≡ 122 (mod 215)

122² ≡ 49 (mod 215)

122⁴ ≡ 36 (mod 215)

122⁸ ≡ 6 (mod 215)

122¹⁶ ≡ 36 (mod 215)

122³² ≡ 6 (mod 215)

122⁶⁴ ≡ 36 (mod 215)

122¹⁰⁷ ≡ 122·49·6·6·36 ≡ 178 (mod 215)

Mesej

m = 178

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Bucu ganjil

Litar Euler

Jawapan

Litar Euler

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 21

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 14, C: 13

C (13): E: 19

B (14): D: 28

E (19): F: 21

F (21): D: 26

D (26)

Laluan terpendek

A → C → E → F

Saiz blok

2⁶ = 64

Subnet nombor 3

rangkaian: (3 − 1)·64 = 128

siaran: 128 + 64 − 1 = 191

Jawapan

x = 191

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 103

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2² = 4

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊103/4⌋·4 = 100

siaran: 100 + 4 − 1 = 103

hos boleh guna: 101 … 102

Jawapan

x = 103

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals