Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tulis −105 sebagai corak pelengkap dua 8-bit. Baca corak itu sebagai nombor perduaan tanpa tanda: apakah nilainya U dalam perpuluhan?

N = −1058 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 1280 × 720 piksel dengan 16 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

1280 × 720 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan c → b? Klik formula itu.

c → b

1b → c
2¬c ∧ b
3¬c ∨ b
4¬c → ¬b

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan ¬(((¬p → q) → (r ∧ ¬p)) → ((q ∨ r) ↔ s)) benar? Panggil nombor ini N.

¬(((¬p → q) → (r ∧ ¬p)) → ((q ∨ r) ↔ s))

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 6, 7, 10, 11). Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 6, 7, 10, 11)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop JK dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 8 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0JK

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 86 modulo 99: nombor x dengan 0 < x < 99 dan 86·x ≡ 1 (mod 99).

a = 86n = 99

86⁻¹ mod 99 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 16x ≡ 12 (mod 22). Beri penyelesaian positif terkecil x.

16x ≡ 12 (mod 22)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Sesuatu fungsi menjalankan satu gelung n lelaran dan kemudian, secara berasingan, satu lagi gelung n lelaran. Apakah kerumitan masanya?

AO(2ⁿ)
BO(log n)
CO(n²)
DO(n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah yang dibuktikan oleh teorem Cook–Levin?

AP tidak sama dengan NP
BMasalah kebolehpuasan Boolean (SAT) ialah NP-lengkap
CSetiap masalah NP boleh diselesaikan dalam masa eksponen
DMasalah penghentian tidak boleh diputuskan

11.Struktur dataSederhana

Rangkaian jalan raya mempunyai 100,000 persimpangan, masing-masing disambungkan kepada kira-kira 4 yang lain. Perwakilan manakah yang paling sesuai?

ASatu tatasusunan bucu tersusun
BSenarai bersebelahan
CMatriks bersebelahan
DTimbunan binari sisi

12.Struktur dataSukar

Apakah kos masa dan ruang tambahan untuk membalikkan senarai berpaut tunggal di tempat?

AMasa O(1) dan ruang tambahan O(1)
BMasa O(n) dan ruang tambahan O(n)
CMasa O(n log n) dan ruang tambahan O(1)
DMasa O(n) dan ruang tambahan O(1)

13.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 11 bucu dan 22 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 11|E| = 22

k =

14.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 5|E| = 7

W =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Kunci asing diisytiharkan dengan ON DELETE CASCADE. Apakah yang berlaku apabila baris induk dipadam?

ABaris anak yang merujuknya dipadam secara automatik
BKunci asing dalam baris anak ditetapkan kepada NULL secara automatik
CBaris induk disalin ke jadual arkib
DPemadaman sentiasa ditolak

16.Pangkalan data & SQLSukar

Apakah yang dipulangkan oleh: SELECT name FROM students WHERE grade > (SELECT AVG(grade) FROM students)?

ARalat kerana subpertanyaan tidak dibenarkan dalam WHERE
BGred purata semua pelajar
CHanya pelajar dengan gred tertinggi
DPelajar dengan gred di atas gred purata

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah yang ditentukan oleh rekod MX dalam DNS?

APelayan mel yang menerima e-mel untuk sesuatu domain
BPelayan nama untuk sesuatu zon
CAlamat IPv4 pelayan web
DNama alias untuk hos lain

18.Rangkaian komputerSukar

Hos dalam VLAN 10 dan VLAN 20 pada suis yang sama tidak dapat berkomunikasi. Apakah yang diperlukan?

AHab yang disambungkan kepada kedua-dua VLAN
BAlamat MAC yang sama pada kedua-dua hos
CPenghala atau suis lapisan 3 untuk menghalakan antara VLAN
DKabel yang lebih panjang antara hos

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 1190 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

1190 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.179.202/26. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.179.202/26

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 151

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Songsang dan tambah satu

105 = 0110 1001

disongsangkan: 1001 0110

+1 → 1001 0111

Baca sebagai tanpa tanda

1001 0111₂ = 256 − 105 = 151

Jawapan

U = 151

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 1800 KiB

Bit dan bait

1280·720·16 = 14745600 bit = 1843200 B

Tukar kepada KiB

1843200/1024 = 1800 KiB

Jawapan

M = 1800 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬c ∨ b

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0, maka ia sama dengan ¬a ∨ b.

c → b ≡ ¬c ∨ b

Semak dengan jadual kebenaran

b = 1, c = 1: 1 | 1 0 1 1

b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 0

b = 0, c = 1: 0 | 1 0 0 1

b = 0, c = 0: 1 | 1 0 1 1

Jawapan

¬c ∨ b

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 3

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

¬p; ¬p → q; r ∧ ¬p; (¬p → q) → (r ∧ ¬p); q ∨ r; (q ∨ r) ↔ s; ((¬p → q) → (r ∧ ¬p)) → ((q ∨ r) ↔ s); ¬(((¬p → q) → (r ∧ ¬p)) → ((q ∨ r) ↔ s))

Pecahkan pada p

p = 1: 0

p = 0: 3

N = 0 + 3 = 3

Jawapan

N = 3

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

A′BD′

A′BC

AB′C

A′B′C′D

Bentuk SOP minimum

F = A′BD′ + A′BC + AB′C + A′B′C′D

N = 4

Jawapan

N = 4

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 5

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop JK: 00 kekal, 01 set semula (Q = 0), 10 set (Q = 1), 11 bertukar keadaan.

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 1, K = 0 → Q = 1

3: J = 0, K = 1 → Q = 0

4: J = 1, K = 1 → Q = 1

5: J = 0, K = 0 → Q = 1

6: J = 0, K = 1 → Q = 0

7: J = 1, K = 1 → Q = 1

8: J = 1, K = 0 → Q = 1

Kira perubahan

0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 0 → 1 → 1

N = 5

Jawapan

N = 5

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 86⁻¹ mod 99 = 38

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·86 (mod 99).

r = 99, t = 0

r = 86, q = 1, t = 1

r = 13, q = 6, t = −1

r = 8, q = 1, t = 7

r = 5, q = 1, t = −8

r = 3, q = 1, t = 15

r = 2, q = 1, t = −23

r = 1, q = 2, t = 38

Songsangan

1 ≡ 38·86 (mod 99)

x = 38

semakan: 86·38 = 3268 = 33·99 + 1

Jawapan

86⁻¹ mod 99 = 38

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 9

Bahagi dengan gcd

gcd(16, 22) = 2

8x ≡ 6 (mod 11)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

8⁻¹ ≡ 7 (mod 11) → x ≡ 9 (mod 11)

Penyelesaian modulo 22

x ∈ {9, 20}

Sisi pokok rentang

11 − 1 = 10

Sisi untuk dibuang

k = 22 − 10 = 12

Jawapan

k = 12

14.Teori graf

Jawapan: W = 35

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

DE (4): ambil

BD (6): ambil

C · Penghala atau suis lapisan 3 untuk menghalakan antara VLAN

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 21

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1190

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1190 → h = 11

Panjang awalan

p = 32 − 11 = 21

Jawapan

p = /21

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 192

Saiz blok

2⁶ = 64

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊202/64⌋·64 = 192

siaran: 192 + 64 − 1 = 255

hos boleh guna: 193 … 254

Jawapan

x = 192

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals