Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1101 0000 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1101 00008 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 256 × 256 piksel dengan 32 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

256 × 256 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Dalam berapa daripada 8 baris jadual kebenarannya (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) benar? Panggil nombor ini N.

(p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r)

N =

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis r → q; q → p diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

r → qq → p

1r → p
2r ∧ p
3p → r
4¬r → ¬p

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 14, 15). Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 14, 15)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 6, 7, 14, 15) + d(0, 2, 4, 8, 10), dengan d menandakan keadaan tidak peduli, cari bilangan N implikan perdana penting.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 6, 7, 14, 15) + d(0, 2, 4, 8, 10)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 4 (mod 7) dan x ≡ 9 (mod 11).

x ≡ 4 (mod 7)x ≡ 9 (mod 11)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan nombor perdana p = 7 dan q = 17 serta eksponen awam e = 19. Cari eksponen persendirian d (0 < d < φ(n)).

p = 7q = 17e = 19

d =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Hubungan jadi semula T(n) = 2T(n/2) + O(n) mempunyai penyelesaian:

AO(log n)
BO(n²)
CO(n)
DO(n log n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Pernyataan manakah tentang P dan NP yang betul?

ATelah dibuktikan bahawa P ≠ NP
BSetiap masalah dalam P juga dalam NP
CMasalah NP tidak boleh disahkan dengan pantas
DNP bermaksud "bukan polinomial"

11.Struktur dataSederhana

Apakah yang berlaku apabila jadual cincang dicincang semula selepas faktor bebannya melebihi ambang?

AKunci sedia ada disusun di tempat
BHanya kunci yang berlanggar dipindahkan ke senarai limpahan baharu di hujung jadual
CJadual yang lebih besar diperuntukkan dan setiap kunci disisip semula
DKunci tertua dipadam untuk memberi ruang

12.Struktur dataSukar

Apakah kelebihan utama senarai langkau (skip list) berbanding senarai berpaut tersusun?

AIa menyimpan kunci tanpa susunan
BCarian O(log n) dijangka dengan menggunakan beberapa peringkat penuding hadapan
CCarian O(1) terjamin kerana setiap nod menyimpan penuding ke setiap nod lain
DIa tidak menggunakan memori tambahan

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₇? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₇

H =

14.Teori grafSukar

Berapa banyak jalan sepanjang 3 dari C ke E? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3

N =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah maksud "A" dalam ACID?

AAggregation
BAvailability
CAtomicity (keatoman)
DAccuracy

16.Pangkalan data & SQLSukar

Bilakah penguraian R kepada R1 dan R2 dijamin tanpa kehilangan (lossless)?

AApabila R1 dan R2 mempunyai bilangan lajur yang sama
BApabila R1 dan R2 tidak mempunyai atribut sepunya
CApabila atribut sepunya R1 dan R2 membentuk superkey bagi R1 atau R2
DApabila setiap atribut R muncul dalam kedua-dua R1 dan R2

17.Rangkaian komputerSederhana

Topeng subnet 255.255.255.0 sepadan dengan apakah dalam tatatanda CIDR?

A/16
B/24
C/8
D/32

18.Rangkaian komputerSukar

Protokol penghalaan manakah ialah protokol keadaan pautan (link-state)?

AARP
BRIP
CBGP
DOSPF

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 1139 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

1139 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah penghala mempunyai laluan ke rangkaian ini: 10.155.243.0/24, 10.155.244.0/24, 10.155.245.0/24, 10.155.246.0/24, 10.155.247.0/24, 10.155.248.0/24, 10.155.249.0/24. Berapakah panjang awalan terpanjang p bagi satu laluan ringkasan yang meliputi kesemuanya?

10.155.243.0/24 … 10.155.249.0/24

p =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −48

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 64 + 16 = −48

Jawapan

N = −48

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 256 KiB

Bit dan bait

256·256·32 = 2097152 bit = 262144 B

Tukar kepada KiB

262144/1024 = 256 KiB

Jawapan

M = 256 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 1

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Jadual kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1, r = 1: q → r = 1, p ∨ (q → r) = 1, q ∧ p = 1, (q ∧ p) ∧ r = 1, (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: q → r = 0, p ∨ (q → r) = 1, q ∧ p = 1, (q ∧ p) ∧ r = 0, (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: q → r = 1, p ∨ (q → r) = 1, q ∧ p = 0, (q ∧ p) ∧ r = 0, (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: q → r = 1, p ∨ (q → r) = 1, q ∧ p = 0, (q ∧ p) ∧ r = 0, (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: q → r = 1, p ∨ (q → r) = 1, q ∧ p = 0, (q ∧ p) ∧ r = 0, (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: q → r = 0, p ∨ (q → r) = 0, q ∧ p = 0, (q ∧ p) ∧ r = 0, (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: q → r = 1, p ∨ (q → r) = 1, q ∧ p = 0, (q ∧ p) ∧ r = 0, (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: q → r = 1, p ∨ (q → r) = 1, q ∧ p = 0, (q ∧ p) ∧ r = 0, (p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r) = 0

Kira baris dengan nilai 1

(p ∨ (q → r)) ∧ ((q ∧ p) ∧ r): 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

N = 1

Jawapan

N = 1

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: r → p

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

p = 1, q = 1, r = 1: r → p = 1, r ∧ p = 1, p → r = 1, ¬r → ¬p = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r → p = 1, r ∧ p = 0, p → r = 0, ¬r → ¬p = 0

p = 1, q = 0, r = 0: r → p = 1, r ∧ p = 0, p → r = 0, ¬r → ¬p = 0

p = 0, q = 0, r = 0: r → p = 1, r ∧ p = 0, p → r = 1, ¬r → ¬p = 1

Kesimpulan

r → p (silogisme hipotesis)

Jawapan

r → p

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

B′D′

B′C

A′C′

Bentuk SOP minimum

F = B′D′ + B′C + A′C′ + AC

N = 4

Jawapan

N = 4

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 2

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

CD′, BC, A′D′, A′C′, A′B

Implikan perdana penting

BC, A′C′

N = 2

Jawapan

N = 2

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 53

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 4 + 7k

Kongruen kedua

4 + 7k ≡ 9 (mod 11) → 7k ≡ 5 (mod 11)

k ≡ 8·5 ≡ 7 (mod 11)

Keputusan

x = 4 + 7·7 = 53

x = 53

semakan: 53 mod 7 = 4, 53 mod 11 = 9

Jawapan

x = 53

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: d = 91

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Modulus dan totien

n = 7·17 = 119

φ(n) = 6·16 = 96

Algoritma Euclid lanjutan

r = 96, t = 0

r = 19, q = 5, t = 1

r = 1, q = 19, t = −5

Eksponen persendirian

d = 91

Kira

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Jawapan

H = 360

14.Teori graf

Jawapan: N = 6

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. K_n mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 0 1 1 0

C: 1 0 0 0 1 0

D · OSPF

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 21

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1139

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1139 → h = 11

Panjang awalan

p = 32 − 11 = 21

Jawapan

p = /21

20.Subnet IPv4

Jawapan: p = 20

Peringkasan laluan: laluan ringkasan a.b.c.0/p meliputi semua rangkaian yang p bit pertamanya sepadan. Tulis oktet yang berbeza bagi rangkaian pertama dan terakhir dalam binari; bilangan bit di hadapan yang sama, campur bit oktet sebelumnya, ialah awalan ringkasan terpanjang.

Bandingkan bit

243 = 11110011

249 = 11111001

bit di hadapan yang sama: 4

Panjang awalan

p = 16 + 4 = 20

Jawapan

p = /20

Laluan ringkasan: 10.155.240.0/20 (ia juga meliputi 9 rangkaian yang tiada dalam senarai).

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals