Letakkan pekali secara berselang-seli dalam dua baris pertama tatasusunan Routh dan bina baris yang selebihnya.
Kira perubahan tanda dalam lajur pertama: setiap satu ialah kutub di separuh satah kanan. Dengan K dalam tatasusunan, pastikan setiap entri lajur pertama kekal positif.
Untuk lokus punca, tandakan kutub dan sifar, segmen paksi nyata, asimptot dari sentroid dan titik pemisahan di mana dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk gandaan pada suatu titik.
Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jenis sistem
bilangan kutub G(s) pada s = 0
Pemalar ralat
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Langkah A
ess = A/(1 + Kp)
Tanjakan A·t
ess = A/Kv
Parabola A·t²/2
ess = A/Ka
Pengawal PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Sasaran tertib kedua
s² + 2ζωns + ωn²
Terlajak dan pemasaan
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
Kaedah
Kira kutub gelung terbuka C(s)·G(s) pada s = 0: itulah jenis sistem.
Hitung pemalar ralat yang sepadan dengan input: Kp untuk langkah, Kv untuk tanjakan, Ka untuk parabola.
Gunakan ess = A/(1 + Kp), A/Kv atau A/Ka, atau selesaikannya untuk gandaan yang anda perlukan.
Untuk spesifikasi redaman atau laju, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan padankan dengan s² + 2ζω_n·s + ω_n².
2Soalan latihan
1.Transformasi LaplaceSederhana
F(s) = (6s + 12)/(s² + 13s + 42). Transformasi songsangnya berbentuk f(t) = A·e−6t + B·e−7t. Cari pekali A dengan pecahan separa.
F(s) = (6s + 12)/(s² + 13s + 42)
A =
2.Transformasi LaplaceSukar
Satu sistem mematuhi y″ + 10y′ + 24y = 12·u(t). Ia bermula dari keadaan rehat (y(0) = 0, y′(0) = 0) dan masukannya ialah langkah u(t) = 1 untuk t ≥ 0. Gunakan transformasi Laplace untuk mencari keluaran y(0.1).
Loji G(s) = 6/(s + 5) mempunyai gelung suap balik negatif dalam (minor) dengan gandaan H₁ = 4. Gandaan pengawal K = 13 dan gelung suap balik negatif unit luar menutup sistem itu. Cari gandaan AT gelung tertutup T(0).
G(s) = 6/(s + 5)H₁ = 4K = 13
T(0) =
4.Gambar rajah blokSukar
Pengawal berkadar K memacu loji G(s) = 5/(s + 10) dalam gelung suap balik negatif unit. Satu langkah gangguan bersaiz 2 memasuki masukan loji manakala R = 0. Cari gandaan terkecil K yang mengekalkan keluaran keadaan mantap pada atau di bawah 0.05.
G(s) = 5/(s + 10)D = 2css ≤ 0.05
K =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 18/(s² + 4s + 6) dan menerima input langkah unit. Kutubnya ialah s = σ ± jωd. Cari bahagian nyata σ.
G(s) = 18/(s² + 4s + 6)
σ =
6.Sambutan langkahSukar
Sambutan langkah sistem peringkat kedua tanpa sifar menunjukkan lajakan 25 %, dan puncak pertama berlaku pada t = 1.5 s. Cari frekuensi tabii ωn.
Gelung dalam rajah mempunyai fungsi pindahan gelung terbuka L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8)). Gandaan dinaikkan sehingga gelung tertutup berada di tepi kestabilan. Cari frekuensi ω ayunan berterusan.
L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8))
ω = rad/s
8.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus puncaSukar
Untuk gelung L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6)), cari gandaan K yang meletakkan kutub gelung tertutup pada s = −1.
L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6))s = −1
K =
9.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSederhana
Gelung suap balik unit mempunyai G(s) = K/((s + 2)(s + 4)). Cari gandaan K yang memberikan ralat keadaan mantap 5 % untuk input langkah.
G(s) = K/((s + 2)(s + 4))ess = 5 %
K =
10.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSukar
Pengawal berkadar K memacu loji G(s) = 2/(s(s + 2)) dalam gelung suap balik unit. Cari gandaan K yang memberikan gelung tertutup nisbah redaman ζ = 0.6.
G(s) = 2/(s(s + 2))ζ = 0.6
K =
11.Plot Bode dan marginSederhana
penapis laluan tinggi RC yang ditunjukkan mempunyai R = 2.2 kΩ, C = 22 nF. Input sinusoid 1.6 kHz dikenakan. Cari anjakan fasa φ bagi vout relatif kepada vin, dalam darjah.
R = 2.2 kΩC = 22 nFf = 1.6 kHz
φ = °
12.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = K/(s(s + 3)(s + 9)). Cari gandaan K yang memberi margin gandaan 2 dB.
L(s) = K/(s(s + 3)(s + 9))GM = 2 dB
K =
3Larutan
1.Transformasi Laplace
Jawapan: A = −24
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 13s + 42 = (s + 6)(s + 7)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 7)
Petua tutup
Darabkan dengan (s + 6) dan tetapkan s = −6: sebutan B lenyap.
A = (6s + 12)/(s + 7) |s = −6 = −24/1 = −24
Jawapan
A = −24
(B = 30, maka f(t) = −24·e−6t + 30·e−7t)
2.Transformasi Laplace
Jawapan: y(0.1) = 0.04333
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
Y(s) = 12/(s(s + 4)(s + 6))
Pecahan separa
A = 12/(4·6) = 0.5
B = 12/((−4)·2) = −1.5
C = 12/((−6)·(−2)) = 1
Pengeluaran
y(t) = 0.5 − 1.5·e−4t + e−6t
y(0.1) = 0.04333
Jawapan
y(0.1) = 0.04333
3.Gambar rajah blok
Jawapan: T(0) = 0.729
Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Sambutan gangguan
css = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 2·5/(10 + 5K)
Selesaikan untuk K
10 + 5K = 2·5/0.05 = 200
K = (200 − 10)/5 = 38
Jawapan
K = 38
5.Sambutan langkah
Jawapan: σ = −2
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 6 → ωₙ = 2.449 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·2.449) = 0.8165
Keputusan
σ = −ζωₙ = −4/2 = −2
Jawapan
σ = −2
6.Sambutan langkah
Jawapan: ωn = 2.289 rad/s
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil apabila setiap punca polinomial cirinya terletak di separuh kiri satah-s. Tulis pekali secara berselang-seli ke dalam dua baris pertama tatasusunan Routh. Setiap entri baris baharu datang daripada dua baris di atasnya; untuk kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ ialah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama sama dengan bilangan punca di separuh satah kanan. Dengan gandaan K dalam pekali, setiap entri lajur pertama mesti kekal positif: gandaan yang menjadikan entri s¹ sifar ialah had kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi ayunan berterusan.
Tatasusunan Routh
s³ + 12s² + 32s + K = 0
s³: 1, 32
s²: 12, K
s¹: (12·32 − K)/12
s⁰: K
Gandaan genting
K = 12·32 = 384
Persamaan tambahan
Pada gandaan genting baris s¹ ialah sifar; baris s² memberikan kutub pada paksi khayal.
12s² + 384 = 0 → s = ±j√32
ω = 5.657 rad/s
Jawapan
ω = 5.657 rad/s
8.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca
Jawapan: K = 10
Lokus punca: apabila gandaan K berubah dari 0 ke ∞, kutub gelung tertutup, punca 1 + K·G(s) = 0, bergerak daripada kutub gelung terbuka ke sifar gelung terbuka atau ke infiniti. Titik pada paksi nyata tergolong dalam lokus apabila bilangan kutub dan sifar nyata di sebelah kanannya ialah ganjil. Cabang n − m yang menuju ke infiniti mengikut asimptot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m), yang bermula dari sentroid σₐ = (Σ kutub − Σ sifar)/(n − m). Cabang meninggalkan atau menyertai paksi nyata di mana dK/ds = 0. Syarat sudut ∠G(s) = 180° menentukan bentuk, dan syarat magnitud K = 1/|G(s)| memberikan gandaan pada mana-mana titik lokus.
Syarat magnitud
K = |s|·|s + 3|·|s + 6|
Nilaikan pada titik itu
K = 1·2·5 = 10
Jawapan
K = 10
Semak: s(s + 3)(s + 6) + K ialah sifar pada s = −1.
9.Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jawapan: K = 152
Ralat keadaan mantap: dalam gelung suap balik unit dengan fungsi pindahan gelung terbuka G(s) ralatnya ialah E(s) = R(s)/(1 + G(s)), dan melalui teorem nilai akhir ess = lims→0 s·E(s). Jenis sistem ialah bilangan kutub G(s) pada s = 0. Pemalar ralat ialah Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) dan Ka = lim s²·G(s), semuanya untuk s → 0. Langkah bersaiz A memberikan ess = A/(1 + Kp), tanjakan A·t memberikan A/Kv dan parabola A·t²/2 memberikan A/Ka. Gelung jenis-0 mengikut langkah dengan ralat terhingga, gelung jenis-1 mengikutnya dengan tepat dan tanjakan dengan ralat terhingga.
Pemalar ralat yang diperlukan
1/(1 + Kp) = 0.05 → Kp = 19
Gandaan
K/8 = 19 → K = 152
Jawapan
K = 152
Semak juga kestabilan gelung tertutup: untuk gelung tertib kedua ini sebarang K > 0 adalah stabil.
10.Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jawapan: K = 1.389
Kawalan P, PI dan PID: pengawal C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s bertindak ke atas ralat. Gandaan berkadar menjadikan gelung lebih pantas dan mengurangkan ralat loji jenis-0, tetapi tidak pernah menghapuskannya. Sebutan kamiran menambah kutub pada s = 0: jenis sistem meningkat satu, dan langkah diikuti tanpa ralat. Sebutan terbitan menambah redaman. Untuk memilih gandaan, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan bandingkannya dengan s² + 2ζωns + ωn². Maka %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd dengan ωd = ωn√(1 − ζ²), dan ts ≈ 4/(ζωn).
Polinomial ciri
s(s + 2) + 2K = s² + 2s + 2K
Frekuensi tabii
2·0.6·ωₙ = 2 → ωₙ = 1.667 rad/s
Gandaan
2K = ωₙ² = 2.778 → K = 1.389
Jawapan
K = 1.389
11.Plot Bode dan margin
Jawapan: φ = 64.05 °
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(2200·2.2 × 10⁻⁸) = 20661 rad/s
fc = 3288 Hz → f/fc = 1600/3288 = 0.4866
Fasa
φ = 90° − atan(0.4866) = 64.05°
Jawapan
φ = 64.05°
12.Plot Bode dan margin
Jawapan: K = 257.4
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.