Letakkan pekali secara berselang-seli dalam dua baris pertama tatasusunan Routh dan bina baris yang selebihnya.
Kira perubahan tanda dalam lajur pertama: setiap satu ialah kutub di separuh satah kanan. Dengan K dalam tatasusunan, pastikan setiap entri lajur pertama kekal positif.
Untuk lokus punca, tandakan kutub dan sifar, segmen paksi nyata, asimptot dari sentroid dan titik pemisahan di mana dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk gandaan pada suatu titik.
Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jenis sistem
bilangan kutub G(s) pada s = 0
Pemalar ralat
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Langkah A
ess = A/(1 + Kp)
Tanjakan A·t
ess = A/Kv
Parabola A·t²/2
ess = A/Ka
Pengawal PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Sasaran tertib kedua
s² + 2ζωns + ωn²
Terlajak dan pemasaan
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
Kaedah
Kira kutub gelung terbuka C(s)·G(s) pada s = 0: itulah jenis sistem.
Hitung pemalar ralat yang sepadan dengan input: Kp untuk langkah, Kv untuk tanjakan, Ka untuk parabola.
Gunakan ess = A/(1 + Kp), A/Kv atau A/Ka, atau selesaikannya untuk gandaan yang anda perlukan.
Untuk spesifikasi redaman atau laju, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan padankan dengan s² + 2ζω_n·s + ω_n².
2Soalan latihan
1.Transformasi LaplaceSederhana
Cari f(t) bagi F(s) = (2s + 17)/(s² + 8s + 25) dengan melengkapkan kuasa dua, dan nilaikan f(0.2).
F(s) = (2s + 17)/(s² + 8s + 25)t = 0.2 s
f(0.2) =
2.Transformasi LaplaceSukar
Satu sistem diterangkan oleh persamaan pembezaan y″ + 6y′ + 18y = 19u, dengan masukan u(t) dan keluaran y(t). Cari fungsi pindahnya G(s) = Y(s)/U(s) (syarat awal sifar) dan nilaikan sambutan dedenyut g(t) pada t = 0.4 s. Cari g(0.4).
y″ + 6y′ + 18y = 19ut = 0.4 s
g(0.4) =
3.Gambar rajah blokSederhana
Loji G(s) = 9/(s + 3) mempunyai gelung suap balik negatif dalam (minor) dengan gandaan H₁ = 0.5. Gandaan pengawal K = 8 dan gelung suap balik negatif unit luar menutup sistem itu. Cari kutub gelung tertutup p.
G(s) = 9/(s + 3)H₁ = 0.5K = 8
p =
4.Gambar rajah blokSukar
Loji G(s) = 42/(s(s + 3)) berada dalam gelung suap balik negatif dengan gandaan penderia H = 1. Kutub gelung tertutup adalah kompleks. Cari bahagian nyatanya σ.
G(s) = 42/(s(s + 3))H = 1
σ =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 78/(s² + 5s + 26) dan menerima input langkah unit. Cari masa pengenapan 2 % ts bagi sambutan langkah, menggunakan ts ≈ 4/(ζωₙ).
G(s) = 78/(s² + 5s + 26)
ts = s
6.Sambutan langkahSukar
Sambutan langkah sistem peringkat kedua tanpa sifar menunjukkan lajakan 50 %, dan puncak pertama berlaku pada t = 1.5 s. Cari frekuensi tabii ωn.
Gelung suap balik unit mempunyai L(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 5)), dengan K > 0. Cari gandaan terbesar Kmax yang menjadikan gelung tertutup stabil.
L(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 5))
Kmax =
8.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus puncaSukar
Lokus punca bagi L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 5)) dilakar. Cari frekuensi ω di mana lokus memotong paksi khayal.
L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 5))
ω = rad/s
9.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSederhana
Tanjakan r(t) = 2t dikenakan pada gelung suap balik unit dengan G(s) = 10/(s(s + 2)). Cari ralat keadaan mantap ess.
G(s) = 10/(s(s + 2))r(t) = 2t
ess =
10.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSukar
Pengawal berkadar K memacu loji G(s) = 4/(s(s + 5)) dalam gelung suap balik unit. Cari gandaan K yang memberikan gelung tertutup nisbah redaman ζ = 0.5.
G(s) = 4/(s(s + 5))ζ = 0.5
K =
11.Plot Bode dan marginSederhana
Dalam penapis laluan jalur RLC sesiri yang ditunjukkan output diambil merentasi R = 50 Ω, dengan L = 20 mH dan C = 0.47 µF. Cari lebar jalur −3 dB BW dalam Hz.
R = 50 ΩL = 20 mHC = 0.47 µF
BW = Hz
12.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = K/(s(s + 6)(s + 9)). Cari gandaan K yang memberi margin gandaan 15 dB.
L(s) = K/(s(s + 6)(s + 9))GM = 15 dB
K =
3Larutan
1.Transformasi Laplace
Jawapan: f(0.2) = 1.503
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Fungsi pindah
G(s) = Y(s)/U(s) = 19/(s² + 6s + 18)
Pecahan separa
s² + 6s + 18 = (s + 3)² + 3²
G(s) = (19/3)·3/((s + 3)² + 3²)
Sambutan dedenyut
g(t) = e−3t·(6.333·sin 3t)
g(0.4) = 1.778
Jawapan
g(0.4) = 1.778
3.Gambar rajah blok
Jawapan: p = −79.5
Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Persamaan cirian
s(s + 3) + 42·1 = 0 → s² + 3s + 42 = 0
Punca
s = −1.5 ± j·√(42 − 2.25) = −1.5 ± j6.305
σ = −1.5
Jawapan
σ = −1.5
5.Sambutan langkah
Jawapan: ts = 1.6 s
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 26 → ωₙ = 5.099 rad/s
2ζωₙ = 5 → ζ = 5/(2·5.099) = 0.4903
Keputusan
ζωₙ = 2.5 → ts ≈ 4/2.5 = 1.6 s
Jawapan
ts = 1.6 s
6.Sambutan langkah
Jawapan: ωn = 2.145 rad/s
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil apabila setiap punca polinomial cirinya terletak di separuh kiri satah-s. Tulis pekali secara berselang-seli ke dalam dua baris pertama tatasusunan Routh. Setiap entri baris baharu datang daripada dua baris di atasnya; untuk kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ ialah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama sama dengan bilangan punca di separuh satah kanan. Dengan gandaan K dalam pekali, setiap entri lajur pertama mesti kekal positif: gandaan yang menjadikan entri s¹ sifar ialah had kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi ayunan berterusan.
Polinomial ciri
s³ + 8s² + 17s + 10 + K = 0
Tatasusunan Routh
s³: 1, 17
s²: 8, 10 + K
s¹: (8·17 − 10 − K)/8
s⁰: 10 + K
Syarat
Entri s¹ mesti kekal positif.
K < 8·17 − 10 = 126
Jawapan
Kmax = 126
Pada had gelung berayun pada ω = √17 = 4.123 rad/s.
8.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca
Jawapan: ω = 4.796 rad/s
Lokus punca: apabila gandaan K berubah dari 0 ke ∞, kutub gelung tertutup, punca 1 + K·G(s) = 0, bergerak daripada kutub gelung terbuka ke sifar gelung terbuka atau ke infiniti. Titik pada paksi nyata tergolong dalam lokus apabila bilangan kutub dan sifar nyata di sebelah kanannya ialah ganjil. Cabang n − m yang menuju ke infiniti mengikut asimptot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m), yang bermula dari sentroid σₐ = (Σ kutub − Σ sifar)/(n − m). Cabang meninggalkan atau menyertai paksi nyata di mana dK/ds = 0. Syarat sudut ∠G(s) = 180° menentukan bentuk, dan syarat magnitud K = 1/|G(s)| memberikan gandaan pada mana-mana titik lokus.
Gandaan genting
s³ + 9s² + 23s + 15 + K = 0
s¹: (9·23 − 15 − K)/9 = 0 → K = 192
Frekuensi persilangan
9s² + 15 + 192 = 9s² + 207 = 0 → s² = −23
ω = √23 = 4.796 rad/s
Jawapan
ω = 4.796 rad/s
9.Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jawapan: ess = 0.4
Ralat keadaan mantap: dalam gelung suap balik unit dengan fungsi pindahan gelung terbuka G(s) ralatnya ialah E(s) = R(s)/(1 + G(s)), dan melalui teorem nilai akhir ess = lims→0 s·E(s). Jenis sistem ialah bilangan kutub G(s) pada s = 0. Pemalar ralat ialah Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) dan Ka = lim s²·G(s), semuanya untuk s → 0. Langkah bersaiz A memberikan ess = A/(1 + Kp), tanjakan A·t memberikan A/Kv dan parabola A·t²/2 memberikan A/Ka. Gelung jenis-0 mengikut langkah dengan ralat terhingga, gelung jenis-1 mengikutnya dengan tepat dan tanjakan dengan ralat terhingga.
Pemalar halaju
Kv = lim s·G(s) = 5
Ralat tanjakan
ess = 2/5 = 0.4
Jawapan
ess = 0.4
10.Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jawapan: K = 6.25
Kawalan P, PI dan PID: pengawal C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s bertindak ke atas ralat. Gandaan berkadar menjadikan gelung lebih pantas dan mengurangkan ralat loji jenis-0, tetapi tidak pernah menghapuskannya. Sebutan kamiran menambah kutub pada s = 0: jenis sistem meningkat satu, dan langkah diikuti tanpa ralat. Sebutan terbitan menambah redaman. Untuk memilih gandaan, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan bandingkannya dengan s² + 2ζωns + ωn². Maka %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd dengan ωd = ωn√(1 − ζ²), dan ts ≈ 4/(ζωn).
Polinomial ciri
s(s + 5) + 4K = s² + 5s + 4K
Frekuensi tabii
2·0.5·ωₙ = 5 → ωₙ = 5 rad/s
Gandaan
4K = ωₙ² = 25 → K = 6.25
Jawapan
K = 6.25
11.Plot Bode dan margin
Jawapan: BW = 397.9 Hz
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi salunan
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·4.7 × 10⁻⁷) = 10314 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1642 Hz
Lebar jalur
BW = R/L = 50/0.02 = 2500 rad/s = 397.9 Hz
Jawapan
BW = 397.9 Hz
12.Plot Bode dan margin
Jawapan: K = 144
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.