Letakkan pekali secara berselang-seli dalam dua baris pertama tatasusunan Routh dan bina baris yang selebihnya.
Kira perubahan tanda dalam lajur pertama: setiap satu ialah kutub di separuh satah kanan. Dengan K dalam tatasusunan, pastikan setiap entri lajur pertama kekal positif.
Untuk lokus punca, tandakan kutub dan sifar, segmen paksi nyata, asimptot dari sentroid dan titik pemisahan di mana dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk gandaan pada suatu titik.
Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jenis sistem
bilangan kutub G(s) pada s = 0
Pemalar ralat
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Langkah A
ess = A/(1 + Kp)
Tanjakan A·t
ess = A/Kv
Parabola A·t²/2
ess = A/Ka
Pengawal PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Sasaran tertib kedua
s² + 2ζωns + ωn²
Terlajak dan pemasaan
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
Kaedah
Kira kutub gelung terbuka C(s)·G(s) pada s = 0: itulah jenis sistem.
Hitung pemalar ralat yang sepadan dengan input: Kp untuk langkah, Kv untuk tanjakan, Ka untuk parabola.
Gunakan ess = A/(1 + Kp), A/Kv atau A/Ka, atau selesaikannya untuk gandaan yang anda perlukan.
Untuk spesifikasi redaman atau laju, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan padankan dengan s² + 2ζω_n·s + ω_n².
2Soalan latihan
1.Transformasi LaplaceSederhana
F(s) = (s + 28)/(s² + 11s + 24). Transformasi songsangnya berbentuk f(t) = A·e−3t + B·e−8t. Cari pekali A dengan pecahan separa.
F(s) = (s + 28)/(s² + 11s + 24)
A =
2.Transformasi LaplaceSukar
Satu sistem mematuhi y″ + 5y′ + 6y = 6·u(t), dengan y(0) = 6 dan y′(0) = 0. Pada t = 0 masukan langkah u(t) = 5 dikenakan. Gunakan transformasi Laplace untuk mencari y(0.25).
Loji G(s) = K/((s + 2)(s + 8)) berada dalam gelung suap balik negatif unit. Cari gandaan K yang menjadikan gelung tertutup redaman genting (dua kutub nyata sama).
G(s) = K/((s + 2)(s + 8))suap balik negatif unit
K =
4.Gambar rajah blokSukar
Pengawal berkadar K = 29 memacu loji G(s) = 4/(s + 7) dalam gelung suap balik negatif unit. Satu gangguan D memasuki masukan loji (ia ditambah pada keluaran pengawal). Dengan R = 0, satu langkah gangguan bersaiz 5 dikenakan. Cari keluaran keadaan mantap css.
K = 29G(s) = 4/(s + 7)D = 5R = 0
css =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 5/(s² + 3s + 5) dan menerima input langkah unit. Cari masa pengenapan 2 % ts bagi sambutan langkah, menggunakan ts ≈ 4/(ζωₙ).
G(s) = 5/(s² + 3s + 5)
ts = s
6.Sambutan langkahSukar
Litar RLC sesiri dengan R = 2 Ω, L = 10 mH dan C = 100 µF disambungkan kepada langkah 12 V pada t = 0. Pemuat tanpa cas dan tiada arus mengalir sebelum langkah itu. Cari masa tp bagi puncak voltan pertama, dalam ms.
Gelung suap balik unit mempunyai L(s) = K(s + 7)/(s(s + 1)(s + 2)), dengan K > 0. Cari gandaan terbesar Kmax yang menjadikan gelung tertutup stabil.
L(s) = K(s + 7)/(s(s + 1)(s + 2))
Kmax =
8.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus puncaSukar
Lokus punca bagi L(s) = K/(s(s + 5)) ditunjukkan. Cari gandaan K yang menjadikan kutub gelung tertutup mempunyai nisbah redaman ζ = 0.5.
L(s) = K/(s(s + 5))ζ = 0.5
K =
9.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSederhana
Proses G(s) = 0.5/(10s + 1) dikawal oleh gandaan berkadar K = 19 dalam gelung suap balik unit. Cari ralat keadaan mantap ess untuk langkah, sebagai peratusan saiz langkah.
G(s) = 0.5/(10s + 1)K = 19
ess = %
10.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSukar
Pengawal berkadar K = 20 memacu loji G(s) = 5/(s(s + 5)) dalam gelung suap balik unit. Cari peratusan lajakan %OS bagi sambutan langkah.
G(s) = 5/(s(s + 5))K = 20
%OS = %
11.Plot Bode dan marginSederhana
Cari magnitud tepat |G(jω)| bagi G(s) = 48/((s + 2)(s + 4)) pada ω = 20 rad/s, dalam dB.
G(s) = 48/((s + 2)(s + 4))ω = 20 rad/s
|G(jω)| = dB
12.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Cari gandaan K yang memberi margin gandaan 20 dB.
L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))GM = 20 dB
K =
3Larutan
1.Transformasi Laplace
Jawapan: A = 5
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 11s + 24 = (s + 3)(s + 8)
F(s) = A/(s + 3) + B/(s + 8)
Petua tutup
Darabkan dengan (s + 3) dan tetapkan s = −3: sebutan B lenyap.
A = (s + 28)/(s + 8) |s = −3 = 25/5 = 5
Jawapan
A = 5
(B = −4, maka f(t) = 5·e−3t − 4·e−8t)
2.Transformasi Laplace
Jawapan: y(0.25) = 5.875
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
(s² + 5s + 6)·Y(s) = 6s + 30 + 30/s
Y(s) = (6s² + 30s + 30)/(s(s + 2)(s + 3))
Pecahan separa
A = 30/(2·3) = 5
B = −6/((−2)·1) = 3
C = −6/((−3)·(−1)) = −2
Keputusan
y(t) = 5 + 3·e−2t − 2·e−3t
y(0.25) = 5.875
Jawapan
y(0.25) = 5.875
Semak: y(0) = A + B + C = 6.
3.Gambar rajah blok
Jawapan: K = 9
Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Kuadratik s² + βs + γ mempunyai punca berganda apabila β² = 4γ.
10² = 4(16 + K) → K = 100/4 − 16 = 9
Jawapan
K = 9
Kedua-dua kutub gelung tertutup kemudian berada pada s = −5.
4.Gambar rajah blok
Jawapan: css = 0.1626
Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Fungsi pindah
C/D = G/(1 + K·G) = 4/(s + 7 + 116)
Keadaan mantap
css = 5·4/123 = 0.1626
Jawapan
css = 0.1626
K yang lebih besar mengurangkan kesan gangguan, tetapi tidak pernah kepada sifar dengan pengawal berkadar.
5.Sambutan langkah
Jawapan: ts = 2.667 s
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 5 → ωₙ = 2.236 rad/s
2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·2.236) = 0.6708
Keputusan
ζωₙ = 1.5 → ts ≈ 4/1.5 = 2.667 s
Jawapan
ts = 2.667 s
6.Sambutan langkah
Jawapan: tp = 3.157 ms
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Frekuensi tabii dan nisbah redaman
ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·1 × 10⁻⁴) = 1000 rad/s
ζ = (R/2)·√(C/L) = (2/2)·√(1 × 10⁻⁴/0.01) = 0.1
Keputusan
ωd = 995 rad/s
tp = π/ωd = 3.157 ms
Jawapan
tp = 3.157 ms
7.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca
Jawapan: Kmax = 1.5
Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil apabila setiap punca polinomial cirinya terletak di separuh kiri satah-s. Tulis pekali secara berselang-seli ke dalam dua baris pertama tatasusunan Routh. Setiap entri baris baharu datang daripada dua baris di atasnya; untuk kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ ialah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama sama dengan bilangan punca di separuh satah kanan. Dengan gandaan K dalam pekali, setiap entri lajur pertama mesti kekal positif: gandaan yang menjadikan entri s¹ sifar ialah had kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi ayunan berterusan.
Dengan sifar di sebelah kanan s = −3, gelung akan kekal stabil untuk setiap K > 0.
8.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca
Jawapan: K = 25
Lokus punca: apabila gandaan K berubah dari 0 ke ∞, kutub gelung tertutup, punca 1 + K·G(s) = 0, bergerak daripada kutub gelung terbuka ke sifar gelung terbuka atau ke infiniti. Titik pada paksi nyata tergolong dalam lokus apabila bilangan kutub dan sifar nyata di sebelah kanannya ialah ganjil. Cabang n − m yang menuju ke infiniti mengikut asimptot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m), yang bermula dari sentroid σₐ = (Σ kutub − Σ sifar)/(n − m). Cabang meninggalkan atau menyertai paksi nyata di mana dK/ds = 0. Syarat sudut ∠G(s) = 180° menentukan bentuk, dan syarat magnitud K = 1/|G(s)| memberikan gandaan pada mana-mana titik lokus.
Bandingkan dengan bentuk piawai
s² + 5s + K = s² + 2ζωₙs + ωₙ²
2·0.5·ωₙ = 5 → ωₙ = 5 rad/s
Gandaan
K = ωₙ² = 5² = 25
Jawapan
K = 25
Kutub gelung tertutup berada di tempat garis ζ memotong cabang mencancang pada s = −2.5.
9.Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jawapan: ess = 9.524 %
Ralat keadaan mantap: dalam gelung suap balik unit dengan fungsi pindahan gelung terbuka G(s) ralatnya ialah E(s) = R(s)/(1 + G(s)), dan melalui teorem nilai akhir ess = lims→0 s·E(s). Jenis sistem ialah bilangan kutub G(s) pada s = 0. Pemalar ralat ialah Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) dan Ka = lim s²·G(s), semuanya untuk s → 0. Langkah bersaiz A memberikan ess = A/(1 + Kp), tanjakan A·t memberikan A/Kv dan parabola A·t²/2 memberikan A/Ka. Gelung jenis-0 mengikut langkah dengan ralat terhingga, gelung jenis-1 mengikutnya dengan tepat dan tanjakan dengan ralat terhingga.
Pemalar kedudukan
Kp = 19·0.5 = 9.5
Ralat langkah
ess = 100/(1 + 9.5) = 9.524 %
Jawapan
ess = 9.524 %
10.Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jawapan: %OS = 44.43 %
Kawalan P, PI dan PID: pengawal C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s bertindak ke atas ralat. Gandaan berkadar menjadikan gelung lebih pantas dan mengurangkan ralat loji jenis-0, tetapi tidak pernah menghapuskannya. Sebutan kamiran menambah kutub pada s = 0: jenis sistem meningkat satu, dan langkah diikuti tanpa ralat. Sebutan terbitan menambah redaman. Untuk memilih gandaan, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan bandingkannya dengan s² + 2ζωns + ωn². Maka %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd dengan ωd = ωn√(1 − ζ²), dan ts ≈ 4/(ζωn).
Polinomial ciri
s(s + 5) + 20·5 = s² + 5s + 100
ωₙ dan ζ
ωₙ = √100 = 10 rad/s
ζ = 5/(2·10) = 0.25
Terlajak
%OS = 100·e−0.25π/√(1 − 0.25²) = 44.43 %
Jawapan
%OS = 44.43 %
11.Plot Bode dan margin
Jawapan: |G(jω)| = −18.63 dB
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.