Letakkan pekali secara berselang-seli dalam dua baris pertama tatasusunan Routh dan bina baris yang selebihnya.
Kira perubahan tanda dalam lajur pertama: setiap satu ialah kutub di separuh satah kanan. Dengan K dalam tatasusunan, pastikan setiap entri lajur pertama kekal positif.
Untuk lokus punca, tandakan kutub dan sifar, segmen paksi nyata, asimptot dari sentroid dan titik pemisahan di mana dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk gandaan pada suatu titik.
Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jenis sistem
bilangan kutub G(s) pada s = 0
Pemalar ralat
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Langkah A
ess = A/(1 + Kp)
Tanjakan A·t
ess = A/Kv
Parabola A·t²/2
ess = A/Ka
Pengawal PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Sasaran tertib kedua
s² + 2ζωns + ωn²
Terlajak dan pemasaan
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
Kaedah
Kira kutub gelung terbuka C(s)·G(s) pada s = 0: itulah jenis sistem.
Hitung pemalar ralat yang sepadan dengan input: Kp untuk langkah, Kv untuk tanjakan, Ka untuk parabola.
Gunakan ess = A/(1 + Kp), A/Kv atau A/Ka, atau selesaikannya untuk gandaan yang anda perlukan.
Untuk spesifikasi redaman atau laju, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan padankan dengan s² + 2ζω_n·s + ω_n².
2Soalan latihan
1.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 120/(s² + 9s + 60) dan menerima input langkah unit. Cari nisbah redaman ζ.
G(s) = 120/(s² + 9s + 60)
ζ =
2.Sambutan langkahSukar
Gelung suap balik negatif unit mempunyai G(s) = K/(s(s + 8)). Cari gandaan K yang memberi sambutan langkah dengan lajakan 25 %.
G(s) = K/(s(s + 8))%OS = 25 %
K =
3.Plot Bode dan marginSederhana
penapis laluan tinggi RC yang ditunjukkan mempunyai R = 4.7 kΩ, C = 2.2 nF. Input sinusoid 7.7 kHz dikenakan. Cari anjakan fasa φ bagi vout relatif kepada vin, dalam darjah.
R = 4.7 kΩC = 2.2 nFf = 7.7 kHz
φ = °
4.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 4/(s(s + 2)(s + 4)). Cari frekuensi lintasan fasa ω180, di mana ∠L(jω) = −180°.
Gelung dalam rajah mempunyai fungsi pindahan gelung terbuka L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10)). Cari gandaan terbesar Kmax yang menjadikan gelung tertutup stabil.
L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10))
Kmax =
6.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus puncaSukar
Lokus punca bagi L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8)) meninggalkan paksi nyata antara s = 0 dan s = −4. Cari titik pemisahan sb.
L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8))
sb =
7.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSederhana
Gelung suap balik unit mempunyai G(s) = K/((s + 4)(s + 5)). Cari gandaan K yang memberikan ralat keadaan mantap 20 % untuk input langkah.
G(s) = K/((s + 4)(s + 5))ess = 20 %
K =
8.Ralat keadaan mantap & kawalan PIDSukar
Pengawal berkadar K = 40 memacu loji G(s) = 1/(s(s + 8)) dalam gelung suap balik unit. Cari masa puncak tp bagi sambutan langkah.
G(s) = 1/(s(s + 8))K = 40
tp = s
9.Gambar rajah blokSederhana
Loji G(s) = K/((s + 5)(s + 8)) berada dalam gelung suap balik negatif unit. Cari gandaan K yang menjadikan gelung tertutup redaman genting (dua kutub nyata sama).
G(s) = K/((s + 5)(s + 8))suap balik negatif unit
K =
10.Gambar rajah blokSukar
Permudahkan gambar rajah blok dengan G₁ = 20/(s + 1), G₂ = 6/(s + 7), suap balik negatif dalam H₁ = 4 mengelilingi G₂ dan suap balik negatif luar H₂ = 1. Cari gandaan AT T(0) bagi C(s)/R(s).
G₁ = 20/(s + 1)G₂ = 6/(s + 7)H₁ = 4H₂ = 1
T(0) =
3Larutan
1.Sambutan langkah
Jawapan: ζ = 0.5809
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 60 → ωₙ = 7.746 rad/s
2ζωₙ = 9 → ζ = 9/(2·7.746) = 0.5809
Keputusan
ζ = 0.5809
Jawapan
ζ = 0.5809
2.Sambutan langkah
Jawapan: K = 98.17
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Fungsi pindah gelung tertutup
T(s) = K/(s² + 8s + K)
Nisbah redaman daripada lajakan
ζ = −ln(0.25)/√(π² + ln²(0.25)) = 0.4037
Gandaan
ωₙ = 8/(2ζ) = 9.908 rad/s
K = ωₙ² = 98.17
Jawapan
K = 98.17
3.Plot Bode dan margin
Jawapan: φ = 63.42 °
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(4700·2.2 × 10⁻⁹) = 96712 rad/s
fc = 15392 Hz → f/fc = 7700/15392 = 0.5003
Fasa
φ = 90° − atan(0.5003) = 63.42°
Jawapan
φ = 63.42°
4.Plot Bode dan margin
Jawapan: ω180 = 2.828 rad/s
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Lintasan fasa
(ω/2)·(ω/4) = 1 → ω180 = √(2·4) = 2.828 rad/s
Jawapan
ω180 = 2.828 rad/s
5.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca
Jawapan: Kmax = 1440
Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil apabila setiap punca polinomial cirinya terletak di separuh kiri satah-s. Tulis pekali secara berselang-seli ke dalam dua baris pertama tatasusunan Routh. Setiap entri baris baharu datang daripada dua baris di atasnya; untuk kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ ialah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama sama dengan bilangan punca di separuh satah kanan. Dengan gandaan K dalam pekali, setiap entri lajur pertama mesti kekal positif: gandaan yang menjadikan entri s¹ sifar ialah had kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi ayunan berterusan.
Persamaan cirian
s³ + 18s² + 80s + K = 0
Tatasusunan Routh
s³: 1, 80
s²: 18, K
s¹: (18·80 − K)/18
s⁰: K
Syarat
Setiap entri lajur pertama mesti positif.
K > 0
18·80 − K > 0 → K < 1440
Jawapan
Kmax = 1440
Pada K = 1440 gelung tertutup berayun pada ω = √80 = 8.944 rad/s.
6.Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca
Jawapan: sb = −1.691
Lokus punca: apabila gandaan K berubah dari 0 ke ∞, kutub gelung tertutup, punca 1 + K·G(s) = 0, bergerak daripada kutub gelung terbuka ke sifar gelung terbuka atau ke infiniti. Titik pada paksi nyata tergolong dalam lokus apabila bilangan kutub dan sifar nyata di sebelah kanannya ialah ganjil. Cabang n − m yang menuju ke infiniti mengikut asimptot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m), yang bermula dari sentroid σₐ = (Σ kutub − Σ sifar)/(n − m). Cabang meninggalkan atau menyertai paksi nyata di mana dK/ds = 0. Syarat sudut ∠G(s) = 180° menentukan bentuk, dan syarat magnitud K = 1/|G(s)| memberikan gandaan pada mana-mana titik lokus.
Gandaan di sepanjang paksi nyata
K(s) = −s(s + 4)(s + 8) = −(s³ + 12s² + 32s)
Titik pegun
dK/ds = −(3s² + 24s + 32) = 0
s = (−24 ± √(576 − 384))/6 = −1.691, −6.309
Pilih titik pada lokus
Lokus terletak pada paksi nyata antara 0 dan −4; punca yang satu lagi tidak terletak pada lokus.
sb = −1.691
Jawapan
sb = −1.691
7.Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jawapan: K = 80
Ralat keadaan mantap: dalam gelung suap balik unit dengan fungsi pindahan gelung terbuka G(s) ralatnya ialah E(s) = R(s)/(1 + G(s)), dan melalui teorem nilai akhir ess = lims→0 s·E(s). Jenis sistem ialah bilangan kutub G(s) pada s = 0. Pemalar ralat ialah Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) dan Ka = lim s²·G(s), semuanya untuk s → 0. Langkah bersaiz A memberikan ess = A/(1 + Kp), tanjakan A·t memberikan A/Kv dan parabola A·t²/2 memberikan A/Ka. Gelung jenis-0 mengikut langkah dengan ralat terhingga, gelung jenis-1 mengikutnya dengan tepat dan tanjakan dengan ralat terhingga.
Pemalar ralat yang diperlukan
1/(1 + Kp) = 0.2 → Kp = 4
Gandaan
K/20 = 4 → K = 80
Jawapan
K = 80
Semak juga kestabilan gelung tertutup: untuk gelung tertib kedua ini sebarang K > 0 adalah stabil.
8.Ralat keadaan mantap & kawalan PID
Jawapan: tp = 0.6413 s
Kawalan P, PI dan PID: pengawal C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s bertindak ke atas ralat. Gandaan berkadar menjadikan gelung lebih pantas dan mengurangkan ralat loji jenis-0, tetapi tidak pernah menghapuskannya. Sebutan kamiran menambah kutub pada s = 0: jenis sistem meningkat satu, dan langkah diikuti tanpa ralat. Sebutan terbitan menambah redaman. Untuk memilih gandaan, tulis polinomial ciri gelung tertutup dan bandingkannya dengan s² + 2ζωns + ωn². Maka %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd dengan ωd = ωn√(1 − ζ²), dan ts ≈ 4/(ζωn).
Polinomial ciri
s(s + 8) + 40·1 = s² + 8s + 40
ωₙ dan ζ
ωₙ = √40 = 6.325 rad/s
ζ = 8/(2·6.325) = 0.6325
Masa puncak
ωd = 6.325·√(1 − 0.6325²) = 4.899 rad/s
tp = π/4.899 = 0.6413 s
Jawapan
tp = 0.6413 s
9.Gambar rajah blok
Jawapan: K = 2.25
Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Kuadratik s² + βs + γ mempunyai punca berganda apabila β² = 4γ.
13² = 4(40 + K) → K = 169/4 − 40 = 2.25
Jawapan
K = 2.25
Kedua-dua kutub gelung tertutup kemudian berada pada s = −6.5.
10.Gambar rajah blok
Jawapan: T(0) = 0.7947
Aljabar gambar rajah blok: blok bersiri didarab (G₁·G₂), blok selari ditambah (G₁ + G₂), dan gelung dengan laluan hadapan G dan laluan suap balik H dipermudah kepada T = G/(1 + G·H) bagi suap balik negatif dan G/(1 − G·H) bagi suap balik positif. Permudahkan gelung dalam dahulu, kemudian bergerak ke luar. Kutub gelung tertutup ialah punca persamaan cirian 1 + G(s)H(s) = 0. Bagi gelung yang stabil, masukan langkah bersaiz A memberikan keluaran keadaan mantap A·T(0); dengan suap balik unit, ralat keadaan mantap kepada langkah ialah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).