Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Carian pertama lebar pada graf tidak berpemberat mencari:

  1. ALaluan terpendek dalam graf yang mengandungi pemberat sisi negatif
  2. BLaluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan
  3. CPokok rentang minimum
  4. DSusunan topologi dalam semua graf
2.Algoritma & kerumitanSukar

Isihan sisipan berjalan dalam O(n) pada input tersusun. Adakah ini bercanggah dengan batas bawah Ω(n log n) untuk isihan perbandingan?

  1. AYa, oleh itu batas bawah itu salah
  2. BTidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input
  3. CTidak, kerana isihan sisipan bukan isihan perbandingan
  4. DYa, tetapi hanya untuk tatasusunan lebih pendek daripada 100
3.Struktur dataSederhana

Apakah kerumitan masa mencari kunci dalam pokok carian binari yang seimbang?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.Struktur dataSukar

Sifat manakah yang mesti dipenuhi oleh pokok merah-hitam?

  1. ASetiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
  2. BSetiap nod merah mesti mempunyai anak merah, jadi nod merah sentiasa membentuk rantaian tanpa putus hingga ke daun
  3. CAkar mesti merah
  4. DSetiap nod mesti merah
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K6? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K6
H =
6.Teori grafSukar
712910125159ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Laluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan

Mengapa ini jawapannya

BFS melawat nod mengikut urutan jarak (sisi) dari sumber, jadi ia mencari laluan terpendek tidak berpemberat dalam O(V + E).

Jawapan

B · Laluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Tidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input

Mengapa ini jawapannya

Batas itu menyatakan bahawa setiap isihan perbandingan memerlukan kira-kira n log n perbandingan pada sesetengah input bersaiz n; input khas boleh jauh lebih pantas.

Jawapan

B · Tidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input
3.Struktur data

Jawapan: C · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Pokok seimbang mempunyai ketinggian kira-kira log₂ n, jadi carian mengikut satu laluan dari akar ke daun.

Jawapan

C · O(log n)
4.Struktur data

Jawapan: A · Setiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama

Mengapa ini jawapannya

Peraturan merah-hitam: nod ialah merah atau hitam, akar hitam, nod merah mempunyai anak hitam, dan semua laluan mempunyai ketinggian hitam yang sama, mengekalkan ketinggian ≤ 2 log₂(n + 1).

Jawapan

A · Setiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
5.Teori graf

Jawapan: H = 60

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Jawapan

H = 60
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 32

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): C: 7
C (7): B: 19, E: 17
E (17): D: 29, F: 32
B (19): D: 28
D (28)
F (32)

Laluan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 32

Jawapan

d(F) = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms