Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Pengaturcaraan dinamik berguna apabila sesuatu masalah mempunyai:

  1. ASatu gelung
  2. BSubmasalah bertindih dan substruktur optimum
  3. CHanya input rawak
  4. DTiada submasalah langsung, jadi ia boleh diselesaikan dalam satu langkah
2.Algoritma & kerumitanSukar

Dua perkara manakah yang mesti ditunjukkan untuk membuktikan bahawa masalah keputusan X ialah NP-lengkap?

  1. AX tiada algoritma polinomial, dan X boleh diputuskan
  2. BX dalam P, dan X boleh diturunkan kepada SAT
  3. CX boleh diturunkan kepada masalah dalam P, dan X dalam NP
  4. DX dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur dataSederhana

Bagaimanakah extract-min berfungsi dalam timbunan min binari?

  1. APindahkan elemen terakhir ke akar dan gerakkannya ke bawah
  2. BBuang akar dan anjakkan semua elemen satu tempat ke kiri
  3. CBuang elemen terakhir tatasusunan
  4. DCari semua daun untuk minimum baharu
4.Struktur dataSukar

Struktur union-find (set tercerai) dengan penyatuan mengikut pangkat dan pemampatan laluan mempunyai kos teramortisasi setiap operasi sebanyak:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n) tepat
  4. DO(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 19 bucu dan 23 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 19|E| = 23
k =
6.Teori grafSukar
ABCDE

Berapa banyak jalan tertutup sepanjang 2 bermula dan berakhir di E? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 2
N =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Submasalah bertindih dan substruktur optimum

Mengapa ini jawapannya

Menyimpan hasil submasalah bertindih (memoisasi atau penjadualan) mengelakkan kerja berulang, menukar algoritma eksponen menjadi polinomial.

Jawapan

B · Submasalah bertindih dan substruktur optimum
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · X dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial

Mengapa ini jawapannya

Keahlian dalam NP menunjukkan X tidak lebih sukar daripada NP; penurunan daripada masalah NP-lengkap yang diketahui menunjukkan X sekurang-kurangnya sesukar seluruh NP.

Jawapan

D · X dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur data

Jawapan: A · Pindahkan elemen terakhir ke akar dan gerakkannya ke bawah

Mengapa ini jawapannya

Elemen terakhir mengisi lubang di akar dan ditukar dengan anaknya yang lebih kecil sehingga sifat timbunan dipenuhi, mengambil O(log n).

Jawapan

A · Pindahkan elemen terakhir ke akar dan gerakkannya ke bawah
4.Struktur data

Jawapan: D · O(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal

Mengapa ini jawapannya

Dengan kedua-dua pengoptimuman, operasi mengambil masa teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk sebarang n yang realistik.

Jawapan

D · O(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
5.Teori graf

Jawapan: k = 5

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

19 − 1 = 18

Sisi untuk dibuang

k = 23 − 18 = 5

Jawapan

k = 5
6.Teori graf

Jawapan: N = 2

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Jiran sepunya

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Jawapan

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms