Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Anda mengisih tatasusunan n elemen sekali dan kemudian menjawab k pertanyaan keahlian dengan carian binari. Apakah jumlah kosnya?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n + k)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Algoritma pengaturcaraan dinamik Held–Karp menyelesaikan masalah jurujual kembara dengan tepat. Apakah masa larinya untuk n bandar?

  1. AO(n³)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(2n²)
  4. DO(n!)
3.Struktur dataSederhana

Jenis data abstrak manakah yang digunakan oleh algoritma Dijkstra untuk memilih bucu seterusnya untuk diproses?

  1. ASet tanpa susunan
  2. BTindanan
  3. CBaris gilir FIFO
  4. DBaris gilir keutamaan min
4.Struktur dataSukar

Struktur union-find (set tercerai) dengan penyatuan mengikut pangkat dan pemampatan laluan mempunyai kos teramortisasi setiap operasi sebanyak:

  1. AO(n)
  2. BO(log n) tepat
  3. CO(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
  4. DO(n²)
5.Teori grafSederhana
ABCDEFGLitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
25910371215ABCDEF

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(n log n + k log n)

Mengapa ini jawapannya

Pengisihan berkos O(n log n) dan setiap pertanyaan O(log n); ini mengatasi k imbasan linear (O(nk)) apabila k besar.

Jawapan

A · O(n log n + k log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O(n² 2ⁿ)

Mengapa ini jawapannya

Terdapat kira-kira n 2ⁿ keadaan, masing-masing dikira dalam O(n); ini eksponen tetapi jauh lebih pantas daripada mencuba semua (n − 1)! lawatan.

Jawapan

B · O(n² 2ⁿ)
3.Struktur data

Jawapan: D · Baris gilir keutamaan min

Mengapa ini jawapannya

Baris gilir keutamaan min, biasanya timbunan binari, mengembalikan bucu yang belum dilawati dengan jarak terkecil secara cekap.

Jawapan

D · Baris gilir keutamaan min
4.Struktur data

Jawapan: C · O(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal

Mengapa ini jawapannya

Dengan kedua-dua pengoptimuman, operasi mengambil masa teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk sebarang n yang realistik.

Jawapan

C · O(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
5.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Bucu ganjil

B, D, E, G → 4
tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya
6.Teori graf

Jawapan: W = 27

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

AB (2): ambil
DE (3): ambil
AC (5): ambil
DF (7): ambil
BC (9): langkau, menutup kitaran
CE (10): ambil

Jumlah berat

W = 2 + 3 + 5 + 7 + 10 = 27

Jawapan

W = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms