Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Dalam masalah pemilihan aktiviti, peraturan tamak manakah yang sentiasa memberikan bilangan maksimum aktiviti yang tidak bertindih?

  1. APilih aktiviti terpendek dahulu
  2. BPilih aktiviti dengan pertindihan paling sedikit dahulu, kemudian ulang dengan yang serasi
  3. CPilih aktiviti yang bermula paling awal
  4. DPilih aktiviti yang tamat paling awal, kemudian ulang dengan yang serasi
2.Algoritma & kerumitanSukar

Menggunakan teorem induk, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) mempunyai penyelesaian:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.Struktur dataSederhana

Matriks bersebelahan bagi graf dengan V bucu menggunakan berapa banyak memori?

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.Struktur dataSukar

Dalam jadual cincang yang menggunakan pengalamatan terbuka, mengapakah pemadaman sering dilakukan dengan penanda "batu nisan" (tombstone)?

  1. AMengosongkan slot boleh memecahkan jujukan penyiasatan bagi kunci lain
  2. BIa menjadikan jadual tersusun
  3. CKunci yang dipadam mesti disimpan selama-lamanya demi keselamatan, jadi slot tidak boleh digunakan semula
  4. DBatu nisan mempercepat pencincangan
5.Teori grafSederhana
ABCDEFGLitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
2945774915ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Pilih aktiviti yang tamat paling awal, kemudian ulang dengan yang serasi

Mengapa ini jawapannya

Memilih masa tamat terawal boleh dibuktikan optimum melalui hujah pertukaran; peraturan lain mempunyai contoh bantah.

Jawapan

D · Pilih aktiviti yang tamat paling awal, kemudian ulang dengan yang serasi
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Θ(n³)

Mengapa ini jawapannya

log₂ 8 = 3, dan n² tumbuh lebih perlahan daripada n³, jadi daun mendominasi: Θ(n³).

Jawapan

D · Θ(n³)
3.Struktur data

Jawapan: A · O(V²)

Mengapa ini jawapannya

Matriks bersebelahan menyimpan V × V entri, cekap untuk graf padat; senarai bersebelahan menggunakan O(V + E), lebih baik untuk graf jarang.

Jawapan

A · O(V²)
4.Struktur data

Jawapan: A · Mengosongkan slot boleh memecahkan jujukan penyiasatan bagi kunci lain

Mengapa ini jawapannya

Jika slot yang dipadam menjadi kosong, carian kemudian mungkin berhenti awal dan terlepas kunci yang diletakkan lebih jauh di sepanjang rantai penyiasatan.

Jawapan

A · Mengosongkan slot boleh memecahkan jujukan penyiasatan bagi kunci lain
5.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Bucu ganjil

A, B, C, D, F, G → 6
tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 13

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 2
B (2): C: 11, D: 6
D (6): E: 13, F: 13
C (11): G: 20
E (13)
F (13)
G (20)

Laluan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 13

Jawapan

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms