Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Mengapakah pengaturcaraan dinamik tidak memberikan pecutan sebenar untuk isihan cantum?

  1. ASubmasalahnya tidak bertindih, jadi tiada apa-apa untuk digunakan semula
  2. BPengaturcaraan dinamik hanya berfungsi pada masalah graf, bukan pada tatasusunan
  3. CIsihan cantum tidak mempunyai struktur rekursif
  4. DIsihan cantum sudah O(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah masa larian algoritma Dijkstra dengan timbunan binari pada graf dengan V bucu dan E sisi?

  1. AO(V + E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V³)
  4. DO(V × E)
3.Struktur dataSederhana

Bagaimanakah elemen baharu disisip ke dalam timbunan binari?

  1. ALetakkan di akar dan gerakkannya ke bawah
  2. BSisip di kedudukan tersusunnya dengan menganjak semua elemen yang lebih besar satu tempat ke kanan
  3. CLetakkan di hujung tatasusunan dan gerakkannya ke atas selagi ia melanggar sifat timbunan
  4. DBina semula seluruh timbunan dari awal
4.Struktur dataSukar

Sifat manakah yang mesti dipenuhi oleh pokok merah-hitam?

  1. ASetiap nod mesti merah
  2. BSetiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
  3. CAkar mesti merah
  4. DSetiap nod merah mesti mempunyai anak merah, jadi nod merah sentiasa membentuk rantaian tanpa putus hingga ke daun
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K5? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K5
H =
6.Teori grafSukar
513159161927ABCDEF

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Submasalahnya tidak bertindih, jadi tiada apa-apa untuk digunakan semula

Mengapa ini jawapannya

Separuh isihan cantum tidak bertindih dan setiap satu diselesaikan sekali; DP hanya membantu apabila submasalah berulang, seperti dalam Fibonacci.

Jawapan

A · Submasalahnya tidak bertindih, jadi tiada apa-apa untuk digunakan semula
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O((V + E) log V)

Mengapa ini jawapannya

Terdapat V operasi extract-min dan sehingga E operasi decrease-key, masing-masing O(log V); timbunan Fibonacci memperbaikinya kepada O(E + V log V).

Jawapan

B · O((V + E) log V)
3.Struktur data

Jawapan: C · Letakkan di hujung tatasusunan dan gerakkannya ke atas selagi ia melanggar sifat timbunan

Mengapa ini jawapannya

Menambah di hujung mengekalkan pokok lengkap; menukar dengan induk memulihkan susunan dalam O(log n) langkah.

Jawapan

C · Letakkan di hujung tatasusunan dan gerakkannya ke atas selagi ia melanggar sifat timbunan
4.Struktur data

Jawapan: B · Setiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama

Mengapa ini jawapannya

Peraturan merah-hitam: nod ialah merah atau hitam, akar hitam, nod merah mempunyai anak hitam, dan semua laluan mempunyai ketinggian hitam yang sama, mengekalkan ketinggian ≤ 2 log₂(n + 1).

Jawapan

B · Setiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
5.Teori graf

Jawapan: H = 12

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Jawapan

H = 12
6.Teori graf

Jawapan: W = 39

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

EF (2): ambil
AB (5): ambil
BE (7): ambil
CE (9): ambil
AC (13): langkau, menutup kitaran
BC (15): langkau, menutup kitaran
DE (16): ambil

Jumlah berat

W = 2 + 5 + 7 + 9 + 16 = 39

Jawapan

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms