Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Isihan topologi hanya mungkin untuk:

  1. AGraf lengkap
  2. BGraf tidak berarah
  3. CGraf berarah tanpa kitaran
  4. DGraf dengan pemberat negatif
3.Struktur dataSederhana

Baris gilir dilaksanakan dengan dua tindanan: push ke tindanan "masuk", dan pop dari tindanan "keluar", mengisinya semula dari "masuk" apabila kosong. Apakah kos teramortisasi setiap operasi?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
4.Struktur dataSukar

Apakah kelebihan utama senarai langkau (skip list) berbanding senarai berpaut tersusun?

  1. ACarian O(1) terjamin kerana setiap nod menyimpan penuding ke setiap nod lain
  2. BIa tidak menggunakan memori tambahan
  3. CCarian O(log n) dijangka dengan menggunakan beberapa peringkat penuding hadapan
  4. DIa menyimpan kunci tanpa susunan
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 4, 3 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teori grafSukar
351415151139ABCDEFG

Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 6; A sendiri ialah pusingan 1.

mula: Apusingan 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Masalah dibahagi dua pada setiap langkah dengan kerja malar bagi setiap langkah, jadi terdapat kira-kira log₂ n langkah.

Jawapan

B · O(log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Graf berarah tanpa kitaran

Mengapa ini jawapannya

Susunan topologi wujud jika dan hanya jika graf berarah tidak mempunyai kitaran; ia boleh dicari dalam O(V + E) dengan DFS atau algoritma Kahn.

Jawapan

C · Graf berarah tanpa kitaran
3.Struktur data

Jawapan: B · O(1)

Mengapa ini jawapannya

Setiap elemen di-push dan di-pop paling banyak dua kali kesemuanya, jadi walaupun satu pengisian semula boleh mengambil O(n), purata sepanjang urutan ialah O(1).

Jawapan

B · O(1)
4.Struktur data

Jawapan: C · Carian O(log n) dijangka dengan menggunakan beberapa peringkat penuding hadapan

Mengapa ini jawapannya

Peringkat rawak membolehkan carian melangkau banyak nod, memberikan carian, sisipan dan pemadaman O(log n) dijangka.

Jawapan

C · Carian O(log n) dijangka dengan menggunakan beberapa peringkat penuding hadapan
5.Teori graf

Jawapan: L = 17

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 27 = 2(L + 6) − 2
L = 17

Jawapan

L = 17

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: F

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

1. A (0): C: 3
2. C (3): B: 8, G: 6
3. G (6): E: 15
4. B (8): D: 22
5. E (15): F: 20
6. F (20): D: 21
7. D (21)

pusingan 6

F

Jawapan

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms