Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Carian pertama lebar pada graf tidak berpemberat mencari:

  1. ALaluan terpendek dalam graf yang mengandungi pemberat sisi negatif
  2. BLaluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan
  3. CSusunan topologi dalam semua graf
  4. DPokok rentang minimum
2.Algoritma & kerumitanSukar

Pendaraban Karatsuba memenuhi T(n) = 3T(n/2) + O(n). Apakah penyelesaiannya?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585
3.Struktur dataSederhana

Berapa banyak nod yang ada pada pokok binari sempurna berketinggian h, dengan ketinggian dikira dalam sisi?

  1. A2h + 1
  2. Bh2
  3. C2h
  4. D2h+1 − 1
4.Struktur dataSukar

Mengapakah pokok-B digunakan dalam pangkalan data dan sistem fail?

  1. AIa menggunakan memori kurang daripada mana-mana tatasusunan, jadi seluruh indeks sentiasa muat dalam memori utama
  2. BIa menyimpan data tidak tersusun
  3. CIa tidak memerlukan pengimbangan semula
  4. DFaktor percabangan yang tinggi mengekalkan pokok cetek, mengurangkan bacaan cakera yang perlahan
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K6? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K6
H =
6.Teori grafSukar
142012310137ABCDE

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Laluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan

Mengapa ini jawapannya

BFS melawat nod mengikut urutan jarak (sisi) dari sumber, jadi ia mencari laluan terpendek tidak berpemberat dalam O(V + E).

Jawapan

B · Laluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Θ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585

Mengapa ini jawapannya

Oleh sebab log₂ 3 ≈ 1.585 > 1, daun mendominasi mengikut teorem induk, mengatasi kaedah buku sekolah O(n²).

Jawapan

D · Θ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585
3.Struktur data

Jawapan: D · 2h+1 − 1

Mengapa ini jawapannya

Menjumlahkan 1 + 2 + 4 + ... + 2h memberikan 2h+1 − 1; contohnya, ketinggian 2 memberikan 7 nod.

Jawapan

D · 2h+1 − 1
4.Struktur data

Jawapan: D · Faktor percabangan yang tinggi mengekalkan pokok cetek, mengurangkan bacaan cakera yang perlahan

Mengapa ini jawapannya

Pokok-B menyimpan banyak kunci setiap nod, jadi ketinggian kecil dan sedikit bacaan blok diperlukan setiap carian; pokok B+ juga memaut daun untuk imbasan julat.

Jawapan

D · Faktor percabangan yang tinggi mengekalkan pokok cetek, mengurangkan bacaan cakera yang perlahan
5.Teori graf

Jawapan: H = 60

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Jawapan

H = 60
6.Teori graf

Jawapan: W = 34

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

BD (3): ambil
BE (7): ambil
CE (10): ambil
BC (12): langkau, menutup kitaran
DE (13): langkau, menutup kitaran
AB (14): ambil

Jumlah berat

W = 3 + 7 + 10 + 14 = 34

Jawapan

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms