Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa algoritma Bellman–Ford pada graf dengan V bucu dan E sisi?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V³ × E)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Algoritma Strassen mendarab matriks menggunakan 7 dan bukannya 8 pendaraban rekursif blok separuh saiz. Apakah masa larinya?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(nlog₂ 7), kira-kira n2.81
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n2)
3.Struktur dataSederhana

Berapa banyak memori yang digunakan oleh senarai bersebelahan bagi graf dengan V bucu dan E sisi?

  1. AO(E²)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
4.Struktur dataSukar

Menyisip kunci ke dalam pokok AVL menjadikan subpokok kiri sesuatu nod terlalu tinggi, dan kunci baharu masuk ke subpokok kiri anak kirinya (kes kiri-kiri). Pembetulan manakah yang digunakan?

  1. ASatu putaran kiri tunggal pada nod yang tidak seimbang
  2. BPutaran kiri pada anak, kemudian putaran kanan pada nod
  3. CSatu putaran kanan tunggal pada nod yang tidak seimbang
  4. DMewarnakan semula nod dan anaknya
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K6? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K6
H =
6.Teori grafSukar
155410411102ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) laluan terpendek dari A ke D dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: D
d(D) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(V × E)

Mengapa ini jawapannya

Setiap satu daripada V − 1 pusingan melonggarkan semua E sisi, memberikan O(VE); sebagai balasan ia mengendalikan pemberat sisi negatif.

Jawapan

A · O(V × E)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Θ(nlog₂ 7), kira-kira n2.81

Mengapa ini jawapannya

Dengan a = 7 dan b = 2, nlog₂ 7 mendominasi kerja penambahan O(n²), memberikan kira-kira n2.81.

Jawapan

B · Θ(nlog₂ 7), kira-kira n2.81
3.Struktur data

Jawapan: C · O(V + E)

Mengapa ini jawapannya

Setiap bucu mempunyai senarai dan setiap sisi muncul sekali (berarah) atau dua kali (tidak berarah), memberikan O(V + E).

Jawapan

C · O(V + E)
4.Struktur data

Jawapan: C · Satu putaran kanan tunggal pada nod yang tidak seimbang

Mengapa ini jawapannya

Dalam kes kiri-kiri satu putaran kanan mengangkat anak kiri ke atas dan memulihkan keseimbangan; kes zigzag memerlukan putaran berganda.

Jawapan

C · Satu putaran kanan tunggal pada nod yang tidak seimbang
5.Teori graf

Jawapan: H = 60

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Jawapan

H = 60
6.Teori graf

Jawapan: d(D) = 24

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): C: 15
C (15): B: 20, E: 25
B (20): D: 24, E: 22
E (22): F: 32
D (24)
F (32)

Laluan terpendek

A → C → B → D
d(D) = 24

Jawapan

d(D) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms