Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Dua perkara manakah yang mesti ditunjukkan untuk membuktikan bahawa masalah keputusan X ialah NP-lengkap?

  1. AX dalam P, dan X boleh diturunkan kepada SAT
  2. BX boleh diturunkan kepada masalah dalam P, dan X dalam NP
  3. CX tiada algoritma polinomial, dan X boleh diputuskan
  4. DX dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur dataSederhana

Bagaimanakah elemen baharu disisip ke dalam timbunan binari?

  1. ABina semula seluruh timbunan dari awal
  2. BSisip di kedudukan tersusunnya dengan menganjak semua elemen yang lebih besar satu tempat ke kanan
  3. CLetakkan di akar dan gerakkannya ke bawah
  4. DLetakkan di hujung tatasusunan dan gerakkannya ke atas selagi ia melanggar sifat timbunan
4.Struktur dataSukar

Tanpa penyatuan mengikut pangkat atau pemampatan laluan, apakah kos kes terburuk satu find dalam struktur union-find dengan n elemen?

  1. AO(α(n))
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K4? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K4
H =
6.Teori grafSukar
312465244ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O(2ⁿ)

Mengapa ini jawapannya

Bilangan panggilan berganda pada setiap peringkat dan terdapat n peringkat, jadi jumlahnya kira-kira 2ⁿ, seperti dalam Menara Hanoi.

Jawapan

B · O(2ⁿ)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · X dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial

Mengapa ini jawapannya

Keahlian dalam NP menunjukkan X tidak lebih sukar daripada NP; penurunan daripada masalah NP-lengkap yang diketahui menunjukkan X sekurang-kurangnya sesukar seluruh NP.

Jawapan

D · X dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur data

Jawapan: D · Letakkan di hujung tatasusunan dan gerakkannya ke atas selagi ia melanggar sifat timbunan

Mengapa ini jawapannya

Menambah di hujung mengekalkan pokok lengkap; menukar dengan induk memulihkan susunan dalam O(log n) langkah.

Jawapan

D · Letakkan di hujung tatasusunan dan gerakkannya ke atas selagi ia melanggar sifat timbunan
4.Struktur data

Jawapan: B · O(n)

Mengapa ini jawapannya

Penyatuan naif boleh memaut pokok menjadi rantai panjang, jadi find mungkin mengikuti n − 1 penuding induk; kedua-dua heuristik menjadikannya hampir malar.

Jawapan

B · O(n)
5.Teori graf

Jawapan: H = 3

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawapan

H = 3
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 9

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 3
B (3): C: 15, D: 7, E: 7
D (7): F: 9
E (7): C: 13
F (9)
C (13)

Laluan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 9

Jawapan

d(F) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms