Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Algoritma tamak (greedy):

  1. AHanya menggunakan rekursi
  2. BMembuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah
  3. CSentiasa memberikan penyelesaian optimum
  4. DMencuba setiap penyelesaian yang mungkin
2.Algoritma & kerumitanSukar

Bagaimanakah n! dan 2ⁿ dibandingkan untuk n yang besar?

  1. A2ⁿ tumbuh lebih pantas daripada n!
  2. Bn! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ
  3. Cn! ialah O(n²)
  4. DKeduanya tumbuh pada kadar yang sama
3.Struktur dataSederhana

Berapa lamakah masa untuk menyemak sama ada sisi (u, v) wujud menggunakan matriks bersebelahan?

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V)
  4. DO(1)
4.Struktur dataSukar

Apakah yang dilakukan oleh pokok splay selepas setiap akses?

  1. AMemindahkan nod yang diakses ke daun
  2. BMemutarkan nod yang diakses ke atas ke akar
  3. CMewarnakan semula nod pada laluan carian
  4. DMembina semula seluruh pokok dalam bentuk seimbang
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 12 bucu dan 18 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 12|E| = 18
k =
6.Teori grafSukar
6815129928ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(E) laluan terpendek dari A ke E dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: E
d(E) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Membuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah

Mengapa ini jawapannya

Algoritma tamak adalah pantas dan optimum untuk sesetengah masalah (cth. Dijkstra, pengekodan Huffman) tetapi tidak secara umum (cth. pertukaran syiling dengan sesetengah sistem syiling).

Jawapan

B · Membuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · n! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ

Mengapa ini jawapannya

Untuk n ≥ 4, n! melebihi 2ⁿ, dan nisbahnya tumbuh tanpa batas kerana setiap faktor tambahan n! lebih besar daripada 2.

Jawapan

B · n! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ
3.Struktur data

Jawapan: D · O(1)

Mengapa ini jawapannya

Entri matriks pada baris u, lajur v memberitahu anda serta-merta sama ada sisi itu wujud; senarai bersebelahan mungkin perlu mengimbas jiran u.

Jawapan

D · O(1)
4.Struktur data

Jawapan: B · Memutarkan nod yang diakses ke atas ke akar

Mengapa ini jawapannya

Splaying memindahkan nod yang diakses ke akar melalui putaran; satu operasi boleh berkos O(n), tetapi kos teramortisasi ialah O(log n).

Jawapan

B · Memutarkan nod yang diakses ke atas ke akar
5.Teori graf

Jawapan: k = 7

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

12 − 1 = 11

Sisi untuk dibuang

k = 18 − 11 = 7

Jawapan

k = 7
6.Teori graf

Jawapan: d(E) = 14

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 6, C: 8
B (6): D: 18, E: 14
C (8)
E (14): F: 16
F (16)
D (18)

Laluan terpendek

A → B → E
d(E) = 14

Jawapan

d(E) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms