Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Masalah galas 0/1 yang diselesaikan dengan pengaturcaraan dinamik mengambil masa O(nW). Mengapakah ini dipanggil pseudo-polinomial?

  1. AKerana ia hanya berfungsi untuk W = 0
  2. BW ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W
  3. CKerana n sentiasa kecil
  4. DKerana algoritma itu dirawakkan dan masa larinya berbeza-beza bagi setiap input
3.Struktur dataSederhana

Pokok AVL dan pokok merah-hitam menjamin:

  1. AKetinggian O(log n) melalui pengimbangan semula
  2. BKunci disimpan mengikut susunan sisipan
  3. CTiada nod mempunyai dua anak
  4. DCarian masa malar dalam setiap kes
4.Struktur dataSukar

Anda mesti menyimpan k nilai terkecil daripada aliran n nombor menggunakan memori O(k). Pendekatan manakah yang berfungsi dalam masa O(n log k)?

  1. ABaris gilir FIFO bagi k nilai terakhir
  2. BTimbunan min yang memegang kesemua n nilai, yang daripadanya k nilai terkecil dikeluarkan pada akhirnya
  3. CTimbunan maks bersaiz k, menggantikan akarnya apabila nilai yang lebih kecil tiba
  4. DTatasusunan tersusun bagi kesemua n nilai
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 3, 3 bucu berdarjah 4, 2 bucu berdarjah 5, 4 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 33 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teori grafSukar
13414111154913ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Masalah dibahagi dua pada setiap langkah dengan kerja malar bagi setiap langkah, jadi terdapat kira-kira log₂ n langkah.

Jawapan

D · O(log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · W ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W

Mengapa ini jawapannya

Masa larian ialah polinomial dalam nilai W tetapi eksponen dalam panjangnya (log W bit); galas 0/1 ialah NP-lengkap.

Jawapan

B · W ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W
3.Struktur data

Jawapan: A · Ketinggian O(log n) melalui pengimbangan semula

Mengapa ini jawapannya

Pokok mengimbang sendiri mengekalkan ketinggian logaritma, jadi carian, sisipan dan pemadaman ialah O(log n) dalam kes terburuk.

Jawapan

A · Ketinggian O(log n) melalui pengimbangan semula
4.Struktur data

Jawapan: C · Timbunan maks bersaiz k, menggantikan akarnya apabila nilai yang lebih kecil tiba

Mengapa ini jawapannya

Akar timbunan maks ialah nilai tersimpan terbesar; sebarang nilai baharu yang lebih kecil menggantikannya dalam O(log k), jadi timbunan sentiasa memegang k nilai terkecil setakat ini.

Jawapan

C · Timbunan maks bersaiz k, menggantikan akarnya apabila nilai yang lebih kecil tiba
5.Teori graf

Jawapan: L = 17

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 39 = 2(L + 12) − 2
L = 17

Jawapan

L = 17

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 18

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 1, C: 3
B (1): D: 15
C (3): E: 14
E (14): F: 18, G: 27
D (15): G: 24
F (18)
G (24)

Laluan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 18

Jawapan

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms