Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Berapa banyak ruang tindanan yang digunakan oleh fungsi faktorial rekursif mudah fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Pendaraban Karatsuba memenuhi T(n) = 3T(n/2) + O(n). Apakah penyelesaiannya?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585
  4. DΘ(n²)
3.Struktur dataSederhana

Dalam timbunan binari yang disimpan dalam tatasusunan bermula pada indeks 0, di manakah induk nod pada indeks i?

  1. APada indeks i − 1
  2. BPada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CPada indeks ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DPada indeks 2i + 1
4.Struktur dataSukar

Sifat manakah yang mengekalkan setiap pokok-B seimbang dengan sempurna?

  1. ASetiap nod mempunyai tepat dua anak
  2. BKunci disimpan hanya di akar
  3. CSemua daun berada pada kedalaman yang sama
  4. DSetiap nod menyimpan satu kunci
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 4, 3 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

2 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teori grafSukar
19243201315ABCDE

Algoritma Prim membina pokok rentang minimum bermula dari bucu A. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 2.

mula: Ak = 2
  1. 1sisi AB
  2. 2sisi AC
  3. 3sisi BC
  4. 4sisi BD
  5. 5sisi CE
  6. 6sisi DE
  7. 7sisi BE

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · O(n)

Mengapa ini jawapannya

Rekursi sedalam n panggilan sebelum sebarang kembali, dan setiap panggilan memerlukan bingkai tindanan, jadi ia menggunakan ruang O(n).

Jawapan

C · O(n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Θ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585

Mengapa ini jawapannya

Oleh sebab log₂ 3 ≈ 1.585 > 1, daun mendominasi mengikut teorem induk, mengatasi kaedah buku sekolah O(n²).

Jawapan

C · Θ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585
3.Struktur data

Jawapan: B · Pada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋

Mengapa ini jawapannya

Anak bagi i berada pada 2i + 1 dan 2i + 2, jadi induk bagi i ialah ⌊(i − 1) / 2⌋; dengan pengindeksan berasaskan 1 ia ialah ⌊i / 2⌋.

Jawapan

B · Pada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Struktur data

Jawapan: C · Semua daun berada pada kedalaman yang sama

Mengapa ini jawapannya

Nod berpecah ke atas apabila penuh dan pokok hanya menjadi lebih tinggi apabila akar berpecah, jadi semua daun sentiasa kekal pada peringkat yang sama.

Jawapan

C · Semua daun berada pada kedalaman yang sama
5.Teori graf

Jawapan: L = 15

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 23 = 2(L + 5) − 2
L = 15

Jawapan

L = 15

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: sisi BC

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Prim

1. AC (2)
2. BC (4)
3. BD (3)
4. DE (13)

nombor sisi 2

BC

Jawapan

sisi BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms