Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Isihan pantas sentiasa menggunakan elemen pertama sebagai pangsi. Pada input manakah ia menunjukkan tingkah laku kes terburuk?

ATatasusunan dalam susunan rawak
BTatasusunan yang sudah tersusun
CTatasusunan yang semua elemennya berbeza
DTatasusunan sepanjang 2

2.Algoritma & kerumitanSukar

Algoritma Strassen mendarab matriks menggunakan 7 dan bukannya 8 pendaraban rekursif blok separuh saiz. Apakah masa larinya?

AΘ(n²)
BΘ(n³)
CΘ(n^{log₂ 7}), kira-kira n^2.81
DΘ(n² log n)

3.Struktur dataSederhana

Aplikasi memerlukan carian pantas dan juga perlu menyenaraikan kunci dalam susunan tersusun dan menjawab pertanyaan julat. Struktur manakah yang paling sesuai?

APokok carian binari seimbang
BSenarai berpaut tidak tersusun
CTindanan
DJadual cincang

4.Struktur dataSukar

Algoritma Kahn untuk isihan topologi berulang kali membuang bucu dengan darjah masuk 0. Struktur manakah yang menyimpan bucu tersebut?

AMatriks bersebelahan yang merekodkan bucu mana yang sudah dibuang
BBaris gilir (atau sebarang koleksi) bucu yang darjah masuknya 0
CTimbunan maks yang disusun mengikut darjah keluar
DTindanan semua sisi yang dilawati

5.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 9

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

6.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Tatasusunan yang sudah tersusun

Mengapa ini jawapannya

Pada input tersusun pangsi sentiasa minimum, jadi satu sebelah kosong dan sebelah lagi mempunyai n − 1 elemen, memberikan O(n²).

Jawapan

B · Tatasusunan yang sudah tersusun

2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Θ(n^{log₂ 7}), kira-kira n^2.81

Mengapa ini jawapannya

Dengan a = 7 dan b = 2, n^{log₂ 7} mendominasi kerja penambahan O(n²), memberikan kira-kira n^2.81.

Jawapan

C · Θ(n^{log₂ 7}), kira-kira n^2.81

3.Struktur data

Jawapan: A · Pokok carian binari seimbang

Mengapa ini jawapannya

BST seimbang memberikan carian O(log n) dan mengekalkan kunci tersusun, jadi traversal in-order dan pertanyaan julat mudah; jadual cincang menyebarkan kunci.

Jawapan

A · Pokok carian binari seimbang

4.Struktur data

Jawapan: B · Baris gilir (atau sebarang koleksi) bucu yang darjah masuknya 0

Mengapa ini jawapannya

Bucu yang sedia disimpan dalam baris gilir; membuang satu mengurangkan darjah masuk jirannya, dan mana-mana yang mencapai 0 ditambah, memberikan masa O(V + E).

Jawapan

B · Baris gilir (atau sebarang koleksi) bucu yang darjah masuknya 0

5.Teori graf

Jawapan: Laluan Euler, tiada litar

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Bucu ganjil

C, D → 2

Laluan Euler, tiada litar

Jawapan

Laluan Euler, tiada litar

Laluan Euler bermula pada satu bucu ganjil dan berakhir pada bucu ganjil yang lain.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 16

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 1, C: 8

B (1): D: 7, E: 2

E (2): F: 16

D (7)

C (8)

F (16)

Laluan terpendek

A → B → E → F

d(F) = 16

Jawapan

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms