Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kos masa dan ruang mengira nombor Fibonacci ke-n dengan gelung yang hanya menyimpan dua nilai terakhir?

  1. AMasa O(2ⁿ) dan ruang O(1)
  2. BMasa O(log n) dan ruang O(n)
  3. CMasa O(n) dan ruang O(1)
  4. DMasa O(n) dan ruang O(n)
3.Struktur dataSederhana

Baris gilir dilaksanakan dengan dua tindanan: push ke tindanan "masuk", dan pop dari tindanan "keluar", mengisinya semula dari "masuk" apabila kosong. Apakah kos teramortisasi setiap operasi?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Struktur dataSukar

Bagi setiap elemen tatasusunan anda mahu elemen lebih besar seterusnya di sebelah kanannya, dalam jumlah masa O(n). Struktur manakah yang membantu?

  1. AJadual cincang semua elemen
  2. BBaris gilir yang menyimpan setiap pasangan elemen
  3. CTindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya
  4. DPokok carian binari yang dibina semula bagi setiap elemen
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K8? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K8
H =
6.Teori grafSukar
ABCDEF

Berapa banyak jalan tertutup sepanjang 3 bermula dan berakhir di D? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3
N =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O(n log n)

Mengapa ini jawapannya

Gelung dalam berjalan kira-kira log₂ n kali bagi setiap n lelaran luar, memberikan O(n log n).

Jawapan

B · O(n log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Masa O(n) dan ruang O(1)

Mengapa ini jawapannya

Setiap langkah hanya memerlukan dua nilai sebelumnya, jadi jadual kaedah bawah-atas boleh digantikan dengan dua pemboleh ubah.

Jawapan

C · Masa O(n) dan ruang O(1)
3.Struktur data

Jawapan: C · O(1)

Mengapa ini jawapannya

Setiap elemen di-push dan di-pop paling banyak dua kali kesemuanya, jadi walaupun satu pengisian semula boleh mengambil O(n), purata sepanjang urutan ialah O(1).

Jawapan

C · O(1)
4.Struktur data

Jawapan: C · Tindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya

Mengapa ini jawapannya

Mengimbas dari kiri ke kanan, pop setiap elemen tindanan yang lebih kecil daripada yang semasa (elemen semasa ialah jawapan mereka), kemudian push-nya; setiap elemen bergerak paling banyak dua kali.

Jawapan

C · Tindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya
5.Teori graf

Jawapan: H = 2520

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Jawapan

H = 2520
6.Teori graf

Jawapan: N = 4

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Satu langkah lagi

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 3·0 + 2·1 + 1·1 = 4

Jawapan

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms