Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Dengan syiling 1, 3 dan 4 dan jumlah 6, berapa banyak syiling yang digunakan oleh kaedah tamak "syiling terbesar dahulu", berbanding optimum?

  1. ATamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2
  2. BTamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 3
  3. CTamak menggunakan 2 syiling; optimum ialah 2
  4. DTamak menggunakan 4 syiling; optimum ialah 3
2.Algoritma & kerumitanSukar

Algoritma pengaturcaraan dinamik Held–Karp menyelesaikan masalah jurujual kembara dengan tepat. Apakah masa larinya untuk n bandar?

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(n³)
  3. CO(n!)
  4. DO(2n²)
3.Struktur dataSederhana

Syarat keseimbangan apakah yang dikekalkan oleh pokok AVL pada setiap nod?

  1. ASetiap nod diwarnakan merah atau hitam
  2. BSemua daun berada pada kedalaman yang tepat sama
  3. CKedua-dua subpokok bagi setiap nod mengandungi bilangan nod yang betul-betul sama
  4. DKetinggian subpokok kiri dan kanan berbeza paling banyak 1
4.Struktur dataSukar

Menyisip kunci ke dalam pokok AVL menjadikan subpokok kiri sesuatu nod terlalu tinggi, dan kunci baharu masuk ke subpokok kiri anak kirinya (kes kiri-kiri). Pembetulan manakah yang digunakan?

  1. AMewarnakan semula nod dan anaknya
  2. BSatu putaran kanan tunggal pada nod yang tidak seimbang
  3. CPutaran kiri pada anak, kemudian putaran kanan pada nod
  4. DSatu putaran kiri tunggal pada nod yang tidak seimbang
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 6 bucu dan 16 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 6|E| = 16
k =
6.Teori grafSukar
15874123151ABCDEFG

Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 4; A sendiri ialah pusingan 1.

mula: Apusingan 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Tamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2

Mengapa ini jawapannya

Tamak mengambil 4 + 1 + 1 = 3 syiling, tetapi 3 + 3 hanya menggunakan 2, jadi tamak tidak optimum untuk sistem syiling ini; pengaturcaraan dinamik optimum.

Jawapan

A · Tamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(n² 2ⁿ)

Mengapa ini jawapannya

Terdapat kira-kira n 2ⁿ keadaan, masing-masing dikira dalam O(n); ini eksponen tetapi jauh lebih pantas daripada mencuba semua (n − 1)! lawatan.

Jawapan

A · O(n² 2ⁿ)
3.Struktur data

Jawapan: D · Ketinggian subpokok kiri dan kanan berbeza paling banyak 1

Mengapa ini jawapannya

Faktor imbangan (ketinggian kiri − ketinggian kanan) mesti −1, 0 atau 1; putaran memulihkannya selepas sisipan dan pemadaman.

Jawapan

D · Ketinggian subpokok kiri dan kanan berbeza paling banyak 1
4.Struktur data

Jawapan: B · Satu putaran kanan tunggal pada nod yang tidak seimbang

Mengapa ini jawapannya

Dalam kes kiri-kiri satu putaran kanan mengangkat anak kiri ke atas dan memulihkan keseimbangan; kes zigzag memerlukan putaran berganda.

Jawapan

B · Satu putaran kanan tunggal pada nod yang tidak seimbang
5.Teori graf

Jawapan: k = 11

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

6 − 1 = 5

Sisi untuk dibuang

k = 16 − 5 = 11

Jawapan

k = 11
6.Teori graf

Jawapan: B

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

1. A (0): C: 1
2. C (1): B: 6, E: 8, G: 2
3. G (2)
4. B (6): D: 14
5. E (8): D: 12, F: 11
6. F (11)
7. D (12)

pusingan 4

B

Jawapan

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms