Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Sesuatu fungsi menjalankan satu gelung n lelaran dan kemudian, secara berasingan, satu lagi gelung n lelaran. Apakah kerumitan masanya?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kos masa dan ruang mengira nombor Fibonacci ke-n dengan gelung yang hanya menyimpan dua nilai terakhir?

  1. AMasa O(n) dan ruang O(n)
  2. BMasa O(n) dan ruang O(1)
  3. CMasa O(2ⁿ) dan ruang O(1)
  4. DMasa O(log n) dan ruang O(n)
3.Struktur dataSederhana

Pokok AVL dan pokok merah-hitam menjamin:

  1. ACarian masa malar dalam setiap kes
  2. BTiada nod mempunyai dua anak
  3. CKetinggian O(log n) melalui pengimbangan semula
  4. DKunci disimpan mengikut susunan sisipan
4.Struktur dataSukar

Apakah yang dilakukan oleh pokok splay selepas setiap akses?

  1. AMemindahkan nod yang diakses ke daun
  2. BMewarnakan semula nod pada laluan carian
  3. CMembina semula seluruh pokok dalam bentuk seimbang
  4. DMemutarkan nod yang diakses ke atas ke akar
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 3, 3 bucu berdarjah 4, 2 bucu berdarjah 5, 3 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teori grafSukar
108210114612ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O(n)

Mengapa ini jawapannya

n + n = 2n, dan faktor malar diabaikan, jadi fungsi itu O(n).

Jawapan

B · O(n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Masa O(n) dan ruang O(1)

Mengapa ini jawapannya

Setiap langkah hanya memerlukan dua nilai sebelumnya, jadi jadual kaedah bawah-atas boleh digantikan dengan dua pemboleh ubah.

Jawapan

B · Masa O(n) dan ruang O(1)
3.Struktur data

Jawapan: C · Ketinggian O(log n) melalui pengimbangan semula

Mengapa ini jawapannya

Pokok mengimbang sendiri mengekalkan ketinggian logaritma, jadi carian, sisipan dan pemadaman ialah O(log n) dalam kes terburuk.

Jawapan

C · Ketinggian O(log n) melalui pengimbangan semula
4.Struktur data

Jawapan: D · Memutarkan nod yang diakses ke atas ke akar

Mengapa ini jawapannya

Splaying memindahkan nod yang diakses ke akar melalui putaran; satu operasi boleh berkos O(n), tetapi kos teramortisasi ialah O(log n).

Jawapan

D · Memutarkan nod yang diakses ke atas ke akar
5.Teori graf

Jawapan: L = 16

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

Jawapan

L = 16

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 24

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 10, C: 8
C (8)
B (10): D: 20, E: 22
D (20): F: 24
E (22)
F (24)

Laluan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 24

Jawapan

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms