Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Batas bawah bagi isihan berasaskan perbandingan dalam kes terburuk ialah:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Teknik manakah yang memberikan masa larian dijangka O(n log n) bagi isihan pantas pada sebarang input?

  1. AMemilih pangsi secara seragam rawak
  2. BMengisih input sebelum menjalankan isihan pantas
  3. CSentiasa memilih elemen pertama
  4. DMenggunakan rekursi pada sebelah kiri sahaja
3.Struktur dataSederhana

Pokok binari mempunyai akar 1 dengan anak kiri 2 dan anak kanan 3; nod 2 mempunyai anak 4 (kiri) dan 5 (kanan). Apakah traversal preorder?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 3 4 5
4.Struktur dataSukar

Di bawah pencincangan seragam mudah, apakah masa dijangka carian dalam jadual cincang dengan perantaian, n kunci dan m baldi?

  1. AO(1 + α), dengan α = n / m
  2. BO(n)
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 4 bucu berdarjah 3, 2 bucu berdarjah 4, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

4 × deg 32 × deg 4
L =
6.Teori grafSukar
ABCDEF

Berapa banyak jalan sepanjang 3 dari D ke B? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3
N =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Ω(n log n)

Mengapa ini jawapannya

Sebarang isihan perbandingan memerlukan sekurang-kurangnya log₂(n!) ≈ n log n perbandingan dalam kes terburuk. Isihan kiraan mengatasinya kerana ia tidak membandingkan.

Jawapan

D · Ω(n log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Memilih pangsi secara seragam rawak

Mengapa ini jawapannya

Dengan pangsi rawak, masa larian dijangka ialah O(n log n) untuk setiap input; kes buruk masih wujud tetapi sangat tidak berkemungkinan.

Jawapan

A · Memilih pangsi secara seragam rawak
3.Struktur data

Jawapan: A · 1 2 4 5 3

Mengapa ini jawapannya

Preorder melawat 1, kemudian subpokok kirinya (2, 4, 5), kemudian 3; pilihan lain ialah inorder, postorder dan level-order.

Jawapan

A · 1 2 4 5 3
4.Struktur data

Jawapan: A · O(1 + α), dengan α = n / m

Mengapa ini jawapannya

Mengira cincang berkos O(1) dan panjang rantai dijangka ialah α, jadi mengekalkan α terbatas dengan mengubah saiz memberikan masa dijangka O(1).

Jawapan

A · O(1 + α), dengan α = n / m
5.Teori graf

Jawapan: L = 10

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

Jawapan

L = 10

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: N = 8

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Satu langkah lagi

(M³)DB = 1·1 + 1·0 + 2·1 + 3·1 + 2·1 + 1·0 = 8

Jawapan

N = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms