Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa algoritma Bellman–Ford pada graf dengan V bucu dan E sisi?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Isihan sisipan berjalan dalam O(n) pada input tersusun. Adakah ini bercanggah dengan batas bawah Ω(n log n) untuk isihan perbandingan?

  1. AYa, oleh itu batas bawah itu salah
  2. BTidak, kerana isihan sisipan bukan isihan perbandingan
  3. CTidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input
  4. DYa, tetapi hanya untuk tatasusunan lebih pendek daripada 100
3.Struktur dataSederhana

Apakah ketinggian kes terburuk pokok carian binari dengan n nod jika kunci disisip mengikut susunan tersusun?

  1. A√n
  2. B1
  3. Cn (ia menjadi senarai berpaut)
  4. Dlog₂ n
4.Struktur dataSukar

Bagaimanakah anda boleh mengesan sama ada senarai berpaut tunggal mengandungi kitaran menggunakan memori tambahan O(1)?

  1. ASimpan setiap nod yang dilawati dalam set cincang
  2. BKira nod sehingga bilangan melebihi medan panjang senarai
  3. CGerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu
  4. DIsih senarai dan cari pendua
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 15 bucu dan 18 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 15|E| = 18
k =
6.Teori grafSukar
132151493816ABCDEFG

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(V × E)

Mengapa ini jawapannya

Setiap satu daripada V − 1 pusingan melonggarkan semua E sisi, memberikan O(VE); sebagai balasan ia mengendalikan pemberat sisi negatif.

Jawapan

A · O(V × E)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Tidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input

Mengapa ini jawapannya

Batas itu menyatakan bahawa setiap isihan perbandingan memerlukan kira-kira n log n perbandingan pada sesetengah input bersaiz n; input khas boleh jauh lebih pantas.

Jawapan

C · Tidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input
3.Struktur data

Jawapan: C · n (ia menjadi senarai berpaut)

Mengapa ini jawapannya

Sisipan tersusun mencipta pokok terdegenerasi dengan ketinggian n, menjadikan carian O(n). Pokok seimbang mencegah ini.

Jawapan

C · n (ia menjadi senarai berpaut)
4.Struktur data

Jawapan: C · Gerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu

Mengapa ini jawapannya

Dalam algoritma Floyd, jika terdapat kitaran penuding pantas akhirnya mengejar yang perlahan; jika tidak penuding pantas sampai ke null.

Jawapan

C · Gerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu
5.Teori graf

Jawapan: k = 4

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

15 − 1 = 14

Sisi untuk dibuang

k = 18 − 14 = 4

Jawapan

k = 4
6.Teori graf

Jawapan: W = 33

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

DE (1): ambil
AC (2): ambil
GB (3): ambil
DF (4): ambil
GC (8): ambil
EF (9): langkau, menutup kitaran
AB (13): langkau, menutup kitaran
BD (15): ambil

Jumlah berat

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 15 = 33

Jawapan

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms