Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa mendarab dua matriks n × n dengan tiga gelung piawai?

AO(n³)
BO(n²)
CO(n² log n)
DO(n)

2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah perbezaan antara masalah yang tidak boleh diputuskan dengan masalah yang tidak boleh dikendalikan (intractable)?

AMasalah tak boleh dikendalikan tidak dapat diselesaikan oleh sebarang algoritma, manakala yang tak boleh diputuskan hanya memerlukan masa eksponen
BMasalah tak boleh diputuskan berada dalam NP, manakala masalah tak boleh dikendalikan berada dalam P
CMasalah tak boleh diputuskan tiada algoritma untuk semua input; masalah tak boleh dikendalikan ada algoritma, tetapi terlalu perlahan
DKedua-duanya bermaksud masalah itu tidak mempunyai algoritma sama sekali

3.Struktur dataSederhana

Mengapakah menyusuri tatasusunan selalunya jauh lebih pantas dalam praktik berbanding menyusuri senarai berpaut yang sama panjang?

AElemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik
BSenarai berpaut sentiasa menyimpan elemen pada cakera
CTraversal tatasusunan O(1) secara keseluruhan manakala traversal senarai berpaut O(n)
DTatasusunan menggunakan lebih sedikit arahan untuk membandingkan nilai

4.Struktur dataSukar

Bagaimanakah pokok radix (trie termampat) memperbaiki trie biasa?

AIa menyimpan setiap perkataan dalam jadual cincang di akar dan bukannya dalam nod berasingan
BIa menggabungkan rantai nod satu anak menjadi satu sisi yang berlabel rentetan
CIa hanya menyimpan huruf pertama setiap perkataan
DIa menyusun anak setiap nod mengikut kekerapan

5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 11 bucu dan 16 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 11|E| = 16

k =

6.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 9

W =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(n³)

Mengapa ini jawapannya

Terdapat n² entri dan setiap satu memerlukan n pendaraban, memberikan n³ operasi.

Jawapan

A · O(n³)

2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Masalah tak boleh diputuskan tiada algoritma untuk semua input; masalah tak boleh dikendalikan ada algoritma, tetapi terlalu perlahan

Mengapa ini jawapannya

Masalah penghentian tiada algoritma sama sekali; masalah NP-sukar seperti TSP boleh diselesaikan dengan kekerasan, cuma bukan dalam masa polinomial yang diketahui.

Jawapan

C · Masalah tak boleh diputuskan tiada algoritma untuk semua input; masalah tak boleh dikendalikan ada algoritma, tetapi terlalu perlahan

3.Struktur data

Jawapan: A · Elemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik

Mengapa ini jawapannya

Memori bersebelahan memberikan lokaliti rujukan yang baik, manakala nod berpaut mungkin bertaburan dan menyebabkan banyak kegagalan cache.

Jawapan

A · Elemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik

4.Struktur data

Jawapan: B · Ia menggabungkan rantai nod satu anak menjadi satu sisi yang berlabel rentetan

Mengapa ini jawapannya

Meruntuhkan laluan tanpa percabangan mengurangkan bilangan nod dan memori yang digunakan sambil mengekalkan carian awalan.

Jawapan

B · Ia menggabungkan rantai nod satu anak menjadi satu sisi yang berlabel rentetan

5.Teori graf

Jawapan: k = 6

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

11 − 1 = 10

Sisi untuk dibuang

k = 16 − 10 = 6

Jawapan

k = 6

6.Teori graf

Jawapan: W = 48

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

GE (1): ambil

BD (5): ambil

AB (6): ambil

DE (7): ambil

AC (10): ambil

CE (15): langkau, menutup kitaran

GC (16): langkau, menutup kitaran

BC (18): langkau, menutup kitaran

EF (19): ambil

Jumlah berat

W = 1 + 5 + 6 + 7 + 10 + 19 = 48

Jawapan

W = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms