Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Carian pertama lebar pada graf tidak berpemberat mencari:

  1. ALaluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan
  2. BSusunan topologi dalam semua graf
  3. CLaluan terpendek dalam graf yang mengandungi pemberat sisi negatif
  4. DPokok rentang minimum
2.Algoritma & kerumitanSukar

Masalah galas 0/1 yang diselesaikan dengan pengaturcaraan dinamik mengambil masa O(nW). Mengapakah ini dipanggil pseudo-polinomial?

  1. AW ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W
  2. BKerana algoritma itu dirawakkan dan masa larinya berbeza-beza bagi setiap input
  3. CKerana ia hanya berfungsi untuk W = 0
  4. DKerana n sentiasa kecil
3.Struktur dataSederhana

Syarat keseimbangan apakah yang dikekalkan oleh pokok AVL pada setiap nod?

  1. AKedua-dua subpokok bagi setiap nod mengandungi bilangan nod yang betul-betul sama
  2. BSetiap nod diwarnakan merah atau hitam
  3. CKetinggian subpokok kiri dan kanan berbeza paling banyak 1
  4. DSemua daun berada pada kedalaman yang tepat sama
4.Struktur dataSukar

Apakah yang dilakukan oleh pokok splay selepas setiap akses?

  1. AMembina semula seluruh pokok dalam bentuk seimbang
  2. BMewarnakan semula nod pada laluan carian
  3. CMemindahkan nod yang diakses ke daun
  4. DMemutarkan nod yang diakses ke atas ke akar
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K4? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K4
H =
6.Teori grafSukar
15119101510210911ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Laluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan

Mengapa ini jawapannya

BFS melawat nod mengikut urutan jarak (sisi) dari sumber, jadi ia mencari laluan terpendek tidak berpemberat dalam O(V + E).

Jawapan

A · Laluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · W ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W

Mengapa ini jawapannya

Masa larian ialah polinomial dalam nilai W tetapi eksponen dalam panjangnya (log W bit); galas 0/1 ialah NP-lengkap.

Jawapan

A · W ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W
3.Struktur data

Jawapan: C · Ketinggian subpokok kiri dan kanan berbeza paling banyak 1

Mengapa ini jawapannya

Faktor imbangan (ketinggian kiri − ketinggian kanan) mesti −1, 0 atau 1; putaran memulihkannya selepas sisipan dan pemadaman.

Jawapan

C · Ketinggian subpokok kiri dan kanan berbeza paling banyak 1
4.Struktur data

Jawapan: D · Memutarkan nod yang diakses ke atas ke akar

Mengapa ini jawapannya

Splaying memindahkan nod yang diakses ke akar melalui putaran; satu operasi boleh berkos O(n), tetapi kos teramortisasi ialah O(log n).

Jawapan

D · Memutarkan nod yang diakses ke atas ke akar
5.Teori graf

Jawapan: H = 3

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawapan

H = 3
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 28

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 15, C: 11
C (11): E: 26, G: 20
B (15): D: 25
G (20)
D (25)
E (26): F: 28
F (28)

Laluan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 28

Jawapan

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms