Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Dengan syiling 1, 3 dan 4 dan jumlah 6, berapa banyak syiling yang digunakan oleh kaedah tamak "syiling terbesar dahulu", berbanding optimum?

  1. ATamak menggunakan 2 syiling; optimum ialah 2
  2. BTamak menggunakan 4 syiling; optimum ialah 3
  3. CTamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 3
  4. DTamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2
2.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah algoritma Dijkstra boleh memberikan keputusan yang salah apabila sesetengah pemberat sisi negatif?

  1. ASesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek
  2. BIa masuk ke dalam gelung tak terhingga pada setiap sisi negatif
  3. CNombor negatif tidak boleh disimpan dalam baris gilir keutamaan
  4. DIa hanya berfungsi pada graf tidak berarah
3.Struktur dataSederhana

Matriks bersebelahan bagi graf dengan V bucu menggunakan berapa banyak memori?

  1. AO(log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Struktur dataSukar

Apakah jaminan yang diberikan oleh peraturan pokok merah-hitam tentang ketinggian pokok dengan n kunci?

  1. AKetinggian paling banyak n / 2
  2. BKetinggian tepat log2 n
  3. CKetinggian paling banyak log2 n + 1
  4. DKetinggian paling banyak 2 log2(n + 1)
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 17 bucu dan 27 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 17|E| = 27
k =
6.Teori grafSukar
26159185117ABCDEF

Algoritma Prim membina pokok rentang minimum bermula dari bucu E. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 5.

mula: Ek = 5
  1. 1sisi AB
  2. 2sisi AC
  3. 3sisi BC
  4. 4sisi BD
  5. 5sisi CE
  6. 6sisi DE
  7. 7sisi DF
  8. 8sisi EF

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Tamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2

Mengapa ini jawapannya

Tamak mengambil 4 + 1 + 1 = 3 syiling, tetapi 3 + 3 hanya menggunakan 2, jadi tamak tidak optimum untuk sistem syiling ini; pengaturcaraan dinamik optimum.

Jawapan

D · Tamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Sesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek

Mengapa ini jawapannya

Langkah tamak bergantung pada pemberat tidak negatif supaya jarak yang dikeluarkan adalah muktamad; Bellman–Ford digunakan apabila pemberat mungkin negatif.

Jawapan

A · Sesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek
3.Struktur data

Jawapan: D · O(V²)

Mengapa ini jawapannya

Matriks bersebelahan menyimpan V × V entri, cekap untuk graf padat; senarai bersebelahan menggunakan O(V + E), lebih baik untuk graf jarang.

Jawapan

D · O(V²)
4.Struktur data

Jawapan: D · Ketinggian paling banyak 2 log2(n + 1)

Mengapa ini jawapannya

Setiap laluan mempunyai bilangan nod hitam yang sama dan nod merah tidak boleh bersebelahan, jadi laluan terpanjang paling banyak dua kali laluan terpendek, memberikan ketinggian O(log n).

Jawapan

D · Ketinggian paling banyak 2 log2(n + 1)
5.Teori graf

Jawapan: k = 11

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

17 − 1 = 16

Sisi untuk dibuang

k = 27 − 16 = 11

Jawapan

k = 11
6.Teori graf

Jawapan: sisi AC

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Prim

1. DE (5)
2. EF (7)
3. BD (9)
4. AB (2)
5. AC (6)

nombor sisi 5

AC

Jawapan

sisi AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms