Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa algoritma Bellman–Ford pada graf dengan V bucu dan E sisi?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V³ × E)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Pernyataan manakah tentang notasi o kecil yang betul?

  1. An² = o(n)
  2. B2n = o(n), kerana 2n tumbuh perlahan
  3. Cn = o(n²), tetapi n bukan o(n)
  4. Dn = o(n), kerana setiap fungsi ialah o kecil bagi dirinya sendiri
3.Struktur dataSederhana

Anda mempunyai rujukan kepada nod di tengah senarai. Dalam senarai manakah anda boleh membuangnya dalam O(1)?

  1. ASenarai berpaut dua hala
  2. BTatasusunan dinamik
  3. CTatasusunan tersusun
  4. DSenarai berpaut tunggal
4.Struktur dataSukar

Pokok Fenwick (pokok berindeks binari) ke atas tatasusunan n nombor menyokong operasi manakah dalam O(log n)?

  1. AMengisih tatasusunan dan carian binari
  2. BMenyisip elemen pada sebarang kedudukan
  3. CPertanyaan hasil tambah awalan dan kemas kini elemen tunggal
  4. DMencari median dalam O(1)
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K7? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K7
H =
6.Teori grafSukar
11675129118ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(E) laluan terpendek dari A ke E dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: E
d(E) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(V × E)

Mengapa ini jawapannya

Setiap satu daripada V − 1 pusingan melonggarkan semua E sisi, memberikan O(VE); sebagai balasan ia mengendalikan pemberat sisi negatif.

Jawapan

A · O(V × E)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · n = o(n²), tetapi n bukan o(n)

Mengapa ini jawapannya

f = o(g) bermaksud f(n) / g(n) menuju 0; n / n² menuju 0, tetapi n / n = 1 tidak.

Jawapan

C · n = o(n²), tetapi n bukan o(n)
3.Struktur data

Jawapan: A · Senarai berpaut dua hala

Mengapa ini jawapannya

Nod dua hala tahu pendahulunya, jadi anda boleh memaut semula prev dan next secara terus; senarai berpaut tunggal mesti mencari pendahulu.

Jawapan

A · Senarai berpaut dua hala
4.Struktur data

Jawapan: C · Pertanyaan hasil tambah awalan dan kemas kini elemen tunggal

Mengapa ini jawapannya

Pokok Fenwick menyimpan hasil tambah separa ke atas julat yang ditentukan oleh bit rendah setiap indeks, jadi kedua-dua hasil tambah awalan dan kemas kini titik mengambil O(log n).

Jawapan

C · Pertanyaan hasil tambah awalan dan kemas kini elemen tunggal
5.Teori graf

Jawapan: H = 360

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Jawapan

H = 360
6.Teori graf

Jawapan: d(E) = 18

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 11, C: 6
C (6): E: 18
B (11): D: 16
D (16): F: 25
E (18)
F (25)

Laluan terpendek

A → C → E
d(E) = 18

Jawapan

d(E) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms