Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa mendarab dua matriks n × n dengan tiga gelung piawai?

AO(n²)
BO(n² log n)
CO(n³)
DO(n)

2.Algoritma & kerumitanSukar

Untuk menunjukkan bahawa masalah baharu X ialah NP-sukar, apakah yang mesti anda lakukan?

AMenunjukkan bahawa X tidak mempunyai algoritma polinomial untuk input kecil
BMenurunkan X kepada masalah NP-sukar yang diketahui dalam masa polinomial
CMenunjukkan bahawa X boleh disahkan dalam masa polinomial
DMenurunkan masalah NP-sukar yang diketahui kepada X dalam masa polinomial

3.Struktur dataSederhana

Apakah nilai ungkapan postfix 3 4 + 2 * ?

4.Struktur dataSukar

Kerumitan masa decrease-key dalam timbunan binari (diberi kedudukan elemen) ialah:

AO(n)
BO(1)
CO(n log n)
DO(log n)

5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₇? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₇

H =

6.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · O(n³)

Mengapa ini jawapannya

Terdapat n² entri dan setiap satu memerlukan n pendaraban, memberikan n³ operasi.

Jawapan

C · O(n³)

2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Menurunkan masalah NP-sukar yang diketahui kepada X dalam masa polinomial

Mengapa ini jawapannya

Jika masalah sukar yang diketahui boleh diubah menjadi X dengan cekap, algoritma pantas untuk X juga akan menyelesaikan masalah yang diketahui itu.

Jawapan

D · Menurunkan masalah NP-sukar yang diketahui kepada X dalam masa polinomial

3.Struktur data

Jawapan: A · 14

Mengapa ini jawapannya

Push 3 dan 4, + memberikan 7; push 2, * memberikan 7 × 2 = 14.

Jawapan

A · 14

4.Struktur data

Jawapan: D · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Selepas mengurangkan kunci, elemen bergerak ke atas paling banyak setinggi timbunan. Timbunan Fibonacci mencapai decrease-key O(1) teramortisasi.

Jawapan

D · O(log n)

5.Teori graf

Jawapan: H = 360

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Jawapan

H = 360

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 25

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 7, C: 8

B (7): D: 12, E: 15

C (8)

D (12): E: 13, F: 25

E (13)

F (25)

Laluan terpendek

A → B → D → F

d(F) = 25

Jawapan

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms