Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah carian purata dalam jadual cincang ialah O(1) tetapi kes terburuk O(n)?

  1. ABanyak kunci mungkin berlanggar ke dalam baldi yang sama
  2. BTatasusunan mempunyai akses O(n)
  3. CKunci mesti disusun dahulu
  4. DFungsi cincang adalah perlahan
3.Struktur dataSederhana

Matriks bersebelahan bagi graf dengan V bucu menggunakan berapa banyak memori?

  1. AO(V + E)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Struktur dataSukar

Dalam penimbal bulat, front == rear boleh bermaksud kosong atau penuh. Apakah cara lazim untuk membezakannya?

  1. ASentiasa kosongkan penimbal apabila front sama dengan rear, jadi keadaannya kosong
  2. BSimpan front dan rear dalam pemboleh ubah yang sama
  3. CSimpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan
  4. DJadikan saiz penimbal kuasa dua
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 4 bucu berdarjah 3, 4 bucu berdarjah 4, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

4 × deg 34 × deg 4
L =
6.Teori grafSukar
1221569101814ABCDEF

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(2ⁿ)

Mengapa ini jawapannya

Bilangan panggilan berganda pada setiap peringkat dan terdapat n peringkat, jadi jumlahnya kira-kira 2ⁿ, seperti dalam Menara Hanoi.

Jawapan

A · O(2ⁿ)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Banyak kunci mungkin berlanggar ke dalam baldi yang sama

Mengapa ini jawapannya

Dengan fungsi cincang dan faktor muatan yang baik, baldi kekal pendek secara purata; pencincangan yang bermusuhan atau lemah boleh meletakkan semua kunci dalam satu baldi.

Jawapan

A · Banyak kunci mungkin berlanggar ke dalam baldi yang sama
3.Struktur data

Jawapan: D · O(V²)

Mengapa ini jawapannya

Matriks bersebelahan menyimpan V × V entri, cekap untuk graf padat; senarai bersebelahan menggunakan O(V + E), lebih baik untuk graf jarang.

Jawapan

D · O(V²)
4.Struktur data

Jawapan: C · Simpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan

Mengapa ini jawapannya

Dengan pembilang, kosong bermaksud count = 0 dan penuh bermaksud count = kapasiti; dengan satu slot kosong, penuh ditakrifkan sebagai (rear + 1) mod n == front.

Jawapan

C · Simpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan
5.Teori graf

Jawapan: L = 14

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Jawapan

L = 14

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: W = 41

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

AC (2): ambil
BD (6): ambil
CE (9): ambil
DE (10): ambil
AB (12): langkau, menutup kitaran
EF (14): ambil

Jumlah berat

W = 2 + 6 + 9 + 10 + 14 = 41

Jawapan

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms