Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Betulkah untuk mengatakan bahawa algoritma O(n²) juga O(n³)?

  1. AYa, tetapi hanya jika n kurang daripada 100
  2. BTidak, kerana Big O mesti sentiasa menyatakan kadar pertumbuhan yang tepat bagi fungsi itu
  3. CTidak, kerana n³ lebih kecil daripada n² untuk n yang besar
  4. DYa, kerana Big O ialah batas atas dan n² tumbuh tidak lebih pantas daripada n³
2.Algoritma & kerumitanSukar

Algoritma manakah yang mencari pokok rentang minimum dengan menambah sisi termurah berulang kali yang tidak membentuk kitaran?

  1. AFloyd–Warshall
  2. BAlgoritma Prim bermula dari satu nod
  3. CAlgoritma Kruskal
  4. DAlgoritma Dijkstra
3.Struktur dataSederhana

Mengapakah menyusuri tatasusunan selalunya jauh lebih pantas dalam praktik berbanding menyusuri senarai berpaut yang sama panjang?

  1. AElemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik
  2. BTraversal tatasusunan O(1) secara keseluruhan manakala traversal senarai berpaut O(n)
  3. CSenarai berpaut sentiasa menyimpan elemen pada cakera
  4. DTatasusunan menggunakan lebih sedikit arahan untuk membandingkan nilai
4.Struktur dataSukar

Bagaimanakah anda boleh mengesan sama ada senarai berpaut tunggal mengandungi kitaran menggunakan memori tambahan O(1)?

  1. ASimpan setiap nod yang dilawati dalam set cincang
  2. BGerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu
  3. CKira nod sehingga bilangan melebihi medan panjang senarai
  4. DIsih senarai dan cari pendua
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K4? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K4
H =
6.Teori grafSukar
214611510111011ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Ya, kerana Big O ialah batas atas dan n² tumbuh tidak lebih pantas daripada n³

Mengapa ini jawapannya

Big O ialah batas atas, jadi pernyataan itu benar tetapi tidak ketat; Θ(n²) menyatakan kadar pertumbuhan yang tepat.

Jawapan

D · Ya, kerana Big O ialah batas atas dan n² tumbuh tidak lebih pantas daripada n³
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Algoritma Kruskal

Mengapa ini jawapannya

Kruskal mengisih sisi mengikut pemberat dan menambahnya jika ia menghubungkan komponen berbeza; Prim menumbuhkan satu pokok dari bucu permulaan.

Jawapan

C · Algoritma Kruskal
3.Struktur data

Jawapan: A · Elemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik

Mengapa ini jawapannya

Memori bersebelahan memberikan lokaliti rujukan yang baik, manakala nod berpaut mungkin bertaburan dan menyebabkan banyak kegagalan cache.

Jawapan

A · Elemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik
4.Struktur data

Jawapan: B · Gerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu

Mengapa ini jawapannya

Dalam algoritma Floyd, jika terdapat kitaran penuding pantas akhirnya mengejar yang perlahan; jika tidak penuding pantas sampai ke null.

Jawapan

B · Gerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu
5.Teori graf

Jawapan: H = 3

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawapan

H = 3
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 14

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 2, C: 14
B (2): C: 8, D: 3, E: 13
D (3): F: 14
C (8)
E (13)
F (14)

Laluan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 14

Jawapan

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms