Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Masalah galas 0/1 yang diselesaikan dengan pengaturcaraan dinamik mengambil masa O(nW). Mengapakah ini dipanggil pseudo-polinomial?

  1. AKerana algoritma itu dirawakkan dan masa larinya berbeza-beza bagi setiap input
  2. BW ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W
  3. CKerana n sentiasa kecil
  4. DKerana ia hanya berfungsi untuk W = 0
3.Struktur dataSederhana

Matriks bersebelahan bagi graf dengan V bucu menggunakan berapa banyak memori?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.Struktur dataSukar

Pernyataan manakah tentang isihan timbunan (heapsort) yang betul?

  1. AIa memerlukan pokok carian binari sebagai storan tambahan, jadi ia menggunakan memori tambahan O(n)
  2. BIa stabil dan memerlukan memori tambahan O(n)
  3. CIa mengisih di tempat dalam masa kes terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil
  4. DIa berjalan dalam masa O(n) pada sebarang input
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 4, 4 bucu berdarjah 5, 2 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teori grafSukar
1111715613155ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O(n²)

Mengapa ini jawapannya

Kerja berjumlah kira-kira n² / 2, iaitu hubungan jadi semula isihan pemilihan atau isihan pantas dengan pangsi terburuk.

Jawapan

B · O(n²)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · W ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W

Mengapa ini jawapannya

Masa larian ialah polinomial dalam nilai W tetapi eksponen dalam panjangnya (log W bit); galas 0/1 ialah NP-lengkap.

Jawapan

B · W ialah satu nombor, jadi masanya eksponen dalam bilangan bit yang digunakan untuk menulis W
3.Struktur data

Jawapan: C · O(V²)

Mengapa ini jawapannya

Matriks bersebelahan menyimpan V × V entri, cekap untuk graf padat; senarai bersebelahan menggunakan O(V + E), lebih baik untuk graf jarang.

Jawapan

C · O(V²)
4.Struktur data

Jawapan: C · Ia mengisih di tempat dalam masa kes terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil

Mengapa ini jawapannya

Heapsort membina timbunan maks dan mengeluarkan maksimum n kali dalam tatasusunan yang sama; pertukaran jarak jauh boleh menyusun semula kunci yang sama.

Jawapan

C · Ia mengisih di tempat dalam masa kes terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil
5.Teori graf

Jawapan: L = 20

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 36 = 2(L + 9) − 2
L = 20

Jawapan

L = 20

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 41

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 11, C: 11
B (11): D: 26, E: 16
C (11)
E (16)
D (26): F: 41
F (41)

Laluan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 41

Jawapan

d(F) = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms