Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Berapa banyak ruang tindanan yang digunakan oleh fungsi faktorial rekursif mudah fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Dua perkara manakah yang mesti ditunjukkan untuk membuktikan bahawa masalah keputusan X ialah NP-lengkap?

  1. AX boleh diturunkan kepada masalah dalam P, dan X dalam NP
  2. BX dalam P, dan X boleh diturunkan kepada SAT
  3. CX tiada algoritma polinomial, dan X boleh diputuskan
  4. DX dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur dataSederhana

Struktur data manakah yang digunakan untuk menyemak sama ada kurungan dalam "{[()]}" seimbang?

  1. AJadual cincang
  2. BTindanan (stack)
  3. CBaris gilir (queue)
  4. DPokok carian binari
4.Struktur dataSukar

Dalam penimbal bulat, front == rear boleh bermaksud kosong atau penuh. Apakah cara lazim untuk membezakannya?

  1. ASimpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan
  2. BSimpan front dan rear dalam pemboleh ubah yang sama
  3. CSentiasa kosongkan penimbal apabila front sama dengan rear, jadi keadaannya kosong
  4. DJadikan saiz penimbal kuasa dua
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 6 bucu dan 17 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 6|E| = 17
k =
6.Teori grafSukar
8118971371011ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · O(n)

Mengapa ini jawapannya

Rekursi sedalam n panggilan sebelum sebarang kembali, dan setiap panggilan memerlukan bingkai tindanan, jadi ia menggunakan ruang O(n).

Jawapan

D · O(n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · X dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial

Mengapa ini jawapannya

Keahlian dalam NP menunjukkan X tidak lebih sukar daripada NP; penurunan daripada masalah NP-lengkap yang diketahui menunjukkan X sekurang-kurangnya sesukar seluruh NP.

Jawapan

D · X dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur data

Jawapan: B · Tindanan (stack)

Mengapa ini jawapannya

Push setiap kurungan pembuka dan pop apabila kurungan penutup muncul; ia mesti sepadan dengan kurungan yang di-pop dan tindanan mesti kosong pada akhirnya.

Jawapan

B · Tindanan (stack)
4.Struktur data

Jawapan: A · Simpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan

Mengapa ini jawapannya

Dengan pembilang, kosong bermaksud count = 0 dan penuh bermaksud count = kapasiti; dengan satu slot kosong, penuh ditakrifkan sebagai (rear + 1) mod n == front.

Jawapan

A · Simpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan
5.Teori graf

Jawapan: k = 12

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

6 − 1 = 5

Sisi untuk dibuang

k = 17 − 5 = 12

Jawapan

k = 12
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 34

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 8
B (8): C: 19, G: 21
C (19): E: 27
G (21): D: 31
E (27): F: 34
D (31)
F (34)

Laluan terpendek

A → B → C → E → F
d(F) = 34

Jawapan

d(F) = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms