Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Isihan sisipan berjalan dalam O(n) pada input tersusun. Adakah ini bercanggah dengan batas bawah Ω(n log n) untuk isihan perbandingan?

  1. ATidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input
  2. BTidak, kerana isihan sisipan bukan isihan perbandingan
  3. CYa, oleh itu batas bawah itu salah
  4. DYa, tetapi hanya untuk tatasusunan lebih pendek daripada 100
3.Struktur dataSederhana

Struktur data manakah yang digunakan oleh program yang sedang berjalan untuk menjejaki panggilan fungsi aktif dan pemboleh ubah setempatnya?

  1. AJadual cincang fungsi
  2. BBaris gilir memori timbunan
  3. CPokok carian binari bagi bingkai
  4. DTindanan panggilan (call stack)
4.Struktur dataSukar

Algoritma Kahn untuk isihan topologi berulang kali membuang bucu dengan darjah masuk 0. Struktur manakah yang menyimpan bucu tersebut?

  1. ATimbunan maks yang disusun mengikut darjah keluar
  2. BBaris gilir (atau sebarang koleksi) bucu yang darjah masuknya 0
  3. CTindanan semua sisi yang dilawati
  4. DMatriks bersebelahan yang merekodkan bucu mana yang sudah dibuang
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K8? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K8
H =
6.Teori grafSukar
14109134111313ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Masalah dibahagi dua pada setiap langkah dengan kerja malar bagi setiap langkah, jadi terdapat kira-kira log₂ n langkah.

Jawapan

A · O(log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Tidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input

Mengapa ini jawapannya

Batas itu menyatakan bahawa setiap isihan perbandingan memerlukan kira-kira n log n perbandingan pada sesetengah input bersaiz n; input khas boleh jauh lebih pantas.

Jawapan

A · Tidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input
3.Struktur data

Jawapan: D · Tindanan panggilan (call stack)

Mengapa ini jawapannya

Setiap panggilan mem-push bingkai tindanan dan setiap pulangan mem-pop-nya, itulah sebabnya panggilan terkini selesai dahulu.

Jawapan

D · Tindanan panggilan (call stack)
4.Struktur data

Jawapan: B · Baris gilir (atau sebarang koleksi) bucu yang darjah masuknya 0

Mengapa ini jawapannya

Bucu yang sedia disimpan dalam baris gilir; membuang satu mengurangkan darjah masuk jirannya, dan mana-mana yang mencapai 0 ditambah, memberikan masa O(V + E).

Jawapan

B · Baris gilir (atau sebarang koleksi) bucu yang darjah masuknya 0
5.Teori graf

Jawapan: H = 2520

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Jawapan

H = 2520
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 36

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 14, C: 10
C (10): E: 23
B (14)
E (23): D: 27, F: 36
D (27)
F (36)

Laluan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 36

Jawapan

d(F) = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms