Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Algoritma tamak (greedy):

  1. ASentiasa memberikan penyelesaian optimum
  2. BMencuba setiap penyelesaian yang mungkin
  3. CHanya menggunakan rekursi
  4. DMembuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah
2.Algoritma & kerumitanSukar

Isihan topologi hanya mungkin untuk:

  1. AGraf dengan pemberat negatif
  2. BGraf lengkap
  3. CGraf tidak berarah
  4. DGraf berarah tanpa kitaran
3.Struktur dataSederhana

Apakah nilai ungkapan postfix 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B11
  3. C14
  4. D24
4.Struktur dataSukar

Apakah jaminan yang diberikan oleh peraturan pokok merah-hitam tentang ketinggian pokok dengan n kunci?

  1. AKetinggian paling banyak 2 log2(n + 1)
  2. BKetinggian tepat log2 n
  3. CKetinggian paling banyak log2 n + 1
  4. DKetinggian paling banyak n / 2
5.Teori grafSederhana
ABCDEFLitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
1472151314110462ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Membuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah

Mengapa ini jawapannya

Algoritma tamak adalah pantas dan optimum untuk sesetengah masalah (cth. Dijkstra, pengekodan Huffman) tetapi tidak secara umum (cth. pertukaran syiling dengan sesetengah sistem syiling).

Jawapan

D · Membuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Graf berarah tanpa kitaran

Mengapa ini jawapannya

Susunan topologi wujud jika dan hanya jika graf berarah tidak mempunyai kitaran; ia boleh dicari dalam O(V + E) dengan DFS atau algoritma Kahn.

Jawapan

D · Graf berarah tanpa kitaran
3.Struktur data

Jawapan: C · 14

Mengapa ini jawapannya

Push 3 dan 4, + memberikan 7; push 2, * memberikan 7 × 2 = 14.

Jawapan

C · 14
4.Struktur data

Jawapan: A · Ketinggian paling banyak 2 log2(n + 1)

Mengapa ini jawapannya

Setiap laluan mempunyai bilangan nod hitam yang sama dan nod merah tidak boleh bersebelahan, jadi laluan terpanjang paling banyak dua kali laluan terpendek, memberikan ketinggian O(log n).

Jawapan

A · Ketinggian paling banyak 2 log2(n + 1)
5.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Bucu ganjil

B, C, D, F → 4
tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 25

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 14
B (14): C: 21, D: 16, G: 24
D (16): E: 29, F: 30, G: 22
C (21)
G (22): E: 24
E (24): F: 25
F (25)

Laluan terpendek

A → B → D → G → E → F
d(F) = 25

Jawapan

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms