Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Masalah penghentian (halting problem) menunjukkan bahawa:

  1. ASetiap program akhirnya berhenti
  2. BTiada algoritma yang dapat memutuskan bagi setiap program dan input sama ada ia berhenti
  3. CGelung harus dielakkan
  4. DSesetengah program berjalan lebih pantas pada komputer yang lebih pantas, jadi penghentian bergantung pada perkakasan
3.Struktur dataSederhana

Sesuatu nod dalam pokok carian binari mempunyai subpokok kanan. Di manakah pengganti in-order-nya?

  1. AAnak kanannya, sentiasa
  2. BNod paling kiri dalam subpokok kanannya
  3. CNod paling kanan dalam subpokok kirinya
  4. DInduknya, sentiasa
4.Struktur dataSukar

Sifat manakah yang mesti dipenuhi oleh pokok merah-hitam?

  1. ASetiap nod mesti merah
  2. BAkar mesti merah
  3. CSetiap nod merah mesti mempunyai anak merah, jadi nod merah sentiasa membentuk rantaian tanpa putus hingga ke daun
  4. DSetiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 3, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 3
L =
6.Teori grafSukar
12112114813ABCDEF

Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 5; A sendiri ialah pusingan 1.

mula: Apusingan 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(2ⁿ)

Mengapa ini jawapannya

Bilangan panggilan berganda pada setiap peringkat dan terdapat n peringkat, jadi jumlahnya kira-kira 2ⁿ, seperti dalam Menara Hanoi.

Jawapan

A · O(2ⁿ)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Tiada algoritma yang dapat memutuskan bagi setiap program dan input sama ada ia berhenti

Mengapa ini jawapannya

Turing menunjukkan masalah penghentian tidak boleh diputuskan: mengandaikan penentu wujud membawa kepada percanggahan dengan program yang melakukan sebaliknya.

Jawapan

B · Tiada algoritma yang dapat memutuskan bagi setiap program dan input sama ada ia berhenti
3.Struktur data

Jawapan: B · Nod paling kiri dalam subpokok kanannya

Mengapa ini jawapannya

Semua kunci yang lebih besar berhampiran nod itu berada dalam subpokok kanannya, dan yang terkecil daripadanya ialah nod paling kiri di situ.

Jawapan

B · Nod paling kiri dalam subpokok kanannya
4.Struktur data

Jawapan: D · Setiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama

Mengapa ini jawapannya

Peraturan merah-hitam: nod ialah merah atau hitam, akar hitam, nod merah mempunyai anak hitam, dan semua laluan mempunyai ketinggian hitam yang sama, mengekalkan ketinggian ≤ 2 log₂(n + 1).

Jawapan

D · Setiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
5.Teori graf

Jawapan: L = 5

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Jawapan

L = 5

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: F

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

1. A (0): C: 1
2. C (1): B: 3, E: 13
3. B (3): D: 4
4. D (4): F: 8
5. F (8)
6. E (13)

pusingan 5

F

Jawapan

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms