Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Batas bawah bagi isihan berasaskan perbandingan dalam kes terburuk ialah:

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah algoritma Dijkstra boleh memberikan keputusan yang salah apabila sesetengah pemberat sisi negatif?

  1. AIa hanya berfungsi pada graf tidak berarah
  2. BSesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek
  3. CIa masuk ke dalam gelung tak terhingga pada setiap sisi negatif
  4. DNombor negatif tidak boleh disimpan dalam baris gilir keutamaan
3.Struktur dataSederhana

Berapa banyak nod yang ada pada pokok binari sempurna berketinggian h, dengan ketinggian dikira dalam sisi?

  1. Ah2
  2. B2h+1 − 1
  3. C2h
  4. D2h + 1
4.Struktur dataSukar

Dalam penimbal bulat, front == rear boleh bermaksud kosong atau penuh. Apakah cara lazim untuk membezakannya?

  1. ASimpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan
  2. BJadikan saiz penimbal kuasa dua
  3. CSentiasa kosongkan penimbal apabila front sama dengan rear, jadi keadaannya kosong
  4. DSimpan front dan rear dalam pemboleh ubah yang sama
5.Teori grafSederhana
ABCDELitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
511014151113411ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) laluan terpendek dari A ke D dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: D
d(D) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Ω(n log n)

Mengapa ini jawapannya

Sebarang isihan perbandingan memerlukan sekurang-kurangnya log₂(n!) ≈ n log n perbandingan dalam kes terburuk. Isihan kiraan mengatasinya kerana ia tidak membandingkan.

Jawapan

B · Ω(n log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Sesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek

Mengapa ini jawapannya

Langkah tamak bergantung pada pemberat tidak negatif supaya jarak yang dikeluarkan adalah muktamad; Bellman–Ford digunakan apabila pemberat mungkin negatif.

Jawapan

B · Sesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek
3.Struktur data

Jawapan: B · 2h+1 − 1

Mengapa ini jawapannya

Menjumlahkan 1 + 2 + 4 + ... + 2h memberikan 2h+1 − 1; contohnya, ketinggian 2 memberikan 7 nod.

Jawapan

B · 2h+1 − 1
4.Struktur data

Jawapan: A · Simpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan

Mengapa ini jawapannya

Dengan pembilang, kosong bermaksud count = 0 dan penuh bermaksud count = kapasiti; dengan satu slot kosong, penuh ditakrifkan sebagai (rear + 1) mod n == front.

Jawapan

A · Simpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan
5.Teori graf

Jawapan: Litar Euler

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Bucu ganjil

0
Litar Euler

Jawapan

Litar Euler
6.Teori graf

Jawapan: d(D) = 19

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 5, C: 1
C (1): E: 16
B (5): D: 19
E (16): F: 20
D (19)
F (20)

Laluan terpendek

A → B → D
d(D) = 19

Jawapan

d(D) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms