Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Bagaimanakah algoritma Prim membina pokok rentang minimum?

  1. AIa mengisih semua sisi mengikut pemberat dan menambah setiap satu kecuali jika ia membentuk kitaran dalam hutan
  2. BIa menumbuhkan satu pokok dari bucu permulaan, dengan menambah sisi termurah yang meninggalkan pokok
  3. CIa menjalankan carian pertama lebar dan mengekalkan pokok BFS
  4. DIa membuang sisi paling mahal sehingga tiada kitaran tinggal
2.Algoritma & kerumitanSukar

Isihan topologi hanya mungkin untuk:

  1. AGraf dengan pemberat negatif
  2. BGraf berarah tanpa kitaran
  3. CGraf tidak berarah
  4. DGraf lengkap
3.Struktur dataSederhana

Apakah tujuan nod sentinel (dummy) dalam senarai berpaut?

  1. AUntuk memudahkan kod dengan membuang kes khas di kepala atau ekor
  2. BUntuk menghalang senarai daripada membesar melebihi bilangan nod maksimum yang tetap
  3. CUntuk menyimpan bilangan elemen
  4. DUntuk menjadikan senarai tersusun
4.Struktur dataSukar

Anda mesti menyimpan k nilai terkecil daripada aliran n nombor menggunakan memori O(k). Pendekatan manakah yang berfungsi dalam masa O(n log k)?

  1. ATimbunan maks bersaiz k, menggantikan akarnya apabila nilai yang lebih kecil tiba
  2. BTatasusunan tersusun bagi kesemua n nilai
  3. CTimbunan min yang memegang kesemua n nilai, yang daripadanya k nilai terkecil dikeluarkan pada akhirnya
  4. DBaris gilir FIFO bagi k nilai terakhir
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 6 bucu dan 12 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 6|E| = 12
k =
6.Teori grafSukar
151415899122ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) laluan terpendek dari A ke D dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: D
d(D) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Ia menumbuhkan satu pokok dari bucu permulaan, dengan menambah sisi termurah yang meninggalkan pokok

Mengapa ini jawapannya

Algoritma Prim, dengan baris gilir keutamaan sisi merentas, berjalan dalam O(E log V) dengan timbunan binari.

Jawapan

B · Ia menumbuhkan satu pokok dari bucu permulaan, dengan menambah sisi termurah yang meninggalkan pokok
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Graf berarah tanpa kitaran

Mengapa ini jawapannya

Susunan topologi wujud jika dan hanya jika graf berarah tidak mempunyai kitaran; ia boleh dicari dalam O(V + E) dengan DFS atau algoritma Kahn.

Jawapan

B · Graf berarah tanpa kitaran
3.Struktur data

Jawapan: A · Untuk memudahkan kod dengan membuang kes khas di kepala atau ekor

Mengapa ini jawapannya

Dengan sentinel, setiap nod sebenar mempunyai pendahulu, jadi menyisip atau memadam di kepala tidak memerlukan pengendalian khas.

Jawapan

A · Untuk memudahkan kod dengan membuang kes khas di kepala atau ekor
4.Struktur data

Jawapan: A · Timbunan maks bersaiz k, menggantikan akarnya apabila nilai yang lebih kecil tiba

Mengapa ini jawapannya

Akar timbunan maks ialah nilai tersimpan terbesar; sebarang nilai baharu yang lebih kecil menggantikannya dalam O(log k), jadi timbunan sentiasa memegang k nilai terkecil setakat ini.

Jawapan

A · Timbunan maks bersaiz k, menggantikan akarnya apabila nilai yang lebih kecil tiba
5.Teori graf

Jawapan: k = 7

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

6 − 1 = 5

Sisi untuk dibuang

k = 12 − 5 = 7

Jawapan

k = 7
6.Teori graf

Jawapan: d(D) = 26

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 15, C: 14
C (14): E: 22
B (15): E: 17
E (17): D: 26, F: 29
D (26)
F (29)

Laluan terpendek

A → B → E → D
d(D) = 26

Jawapan

d(D) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms