Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah masa larian algoritma Dijkstra dengan timbunan binari pada graf dengan V bucu dan E sisi?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³)
  3. CO(V × E)
  4. DO((V + E) log V)
3.Struktur dataSederhana

Pokok binari mempunyai akar 1 dengan anak kiri 2 dan anak kanan 3; nod 2 mempunyai anak 4 (kiri) dan 5 (kanan). Apakah traversal preorder?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Struktur dataSukar

Bagaimanakah anda boleh mengesan sama ada senarai berpaut tunggal mengandungi kitaran menggunakan memori tambahan O(1)?

  1. ASimpan setiap nod yang dilawati dalam set cincang
  2. BIsih senarai dan cari pendua
  3. CGerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu
  4. DKira nod sehingga bilangan melebihi medan panjang senarai
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 7 bucu dan 7 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 7|E| = 7
k =
6.Teori grafSukar
ABCDE

Berapa banyak jalan tertutup sepanjang 3 bermula dan berakhir di D? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3
N =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(2ⁿ)

Mengapa ini jawapannya

Bilangan panggilan berganda pada setiap peringkat dan terdapat n peringkat, jadi jumlahnya kira-kira 2ⁿ, seperti dalam Menara Hanoi.

Jawapan

A · O(2ⁿ)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · O((V + E) log V)

Mengapa ini jawapannya

Terdapat V operasi extract-min dan sehingga E operasi decrease-key, masing-masing O(log V); timbunan Fibonacci memperbaikinya kepada O(E + V log V).

Jawapan

D · O((V + E) log V)
3.Struktur data

Jawapan: C · 1 2 4 5 3

Mengapa ini jawapannya

Preorder melawat 1, kemudian subpokok kirinya (2, 4, 5), kemudian 3; pilihan lain ialah inorder, postorder dan level-order.

Jawapan

C · 1 2 4 5 3
4.Struktur data

Jawapan: C · Gerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu

Mengapa ini jawapannya

Dalam algoritma Floyd, jika terdapat kitaran penuding pantas akhirnya mengejar yang perlahan; jika tidak penuding pantas sampai ke null.

Jawapan

C · Gerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu
5.Teori graf

Jawapan: k = 1

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

7 − 1 = 6

Sisi untuk dibuang

k = 7 − 6 = 1

Jawapan

k = 1
6.Teori graf

Jawapan: N = 2

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Satu langkah lagi

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Jawapan

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms