Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Berapa banyak ruang tindanan yang digunakan oleh fungsi faktorial rekursif mudah fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah yang akan menyusul jika seseorang menemui algoritma masa polinomial untuk satu masalah NP-lengkap?

  1. ASetiap masalah dalam NP boleh diselesaikan dalam masa polinomial, jadi P = NP
  2. BMasalah penghentian menjadi boleh diputuskan
  3. CHanya satu masalah itu berpindah ke dalam P
  4. DSemua algoritma masa eksponen serta-merta berjalan dalam masa linear
3.Struktur dataSederhana

Baris gilir dilaksanakan dengan dua tindanan: push ke tindanan "masuk", dan pop dari tindanan "keluar", mengisinya semula dari "masuk" apabila kosong. Apakah kos teramortisasi setiap operasi?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
4.Struktur dataSukar

Pokok segmen lazimnya digunakan untuk:

  1. AMelaksanakan tindanan
  2. BMengisih rentetan mengikut abjad dengan menyimpan setiap awalan dalam nod pokok yang berasingan
  3. CMenyimpan sisi graf
  4. DMenjawab pertanyaan julat (seperti hasil tambah julat) dan kemas kini dalam O(log n)
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 4, 2 bucu berdarjah 5, 3 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

2 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teori grafSukar
914812311210ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(n)

Mengapa ini jawapannya

Rekursi sedalam n panggilan sebelum sebarang kembali, dan setiap panggilan memerlukan bingkai tindanan, jadi ia menggunakan ruang O(n).

Jawapan

A · O(n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Setiap masalah dalam NP boleh diselesaikan dalam masa polinomial, jadi P = NP

Mengapa ini jawapannya

Oleh sebab seluruh NP boleh diturunkan kepada sebarang masalah NP-lengkap dalam masa polinomial, algoritma pantas untuk satu memberikan algoritma pantas untuk semua.

Jawapan

A · Setiap masalah dalam NP boleh diselesaikan dalam masa polinomial, jadi P = NP
3.Struktur data

Jawapan: A · O(1)

Mengapa ini jawapannya

Setiap elemen di-push dan di-pop paling banyak dua kali kesemuanya, jadi walaupun satu pengisian semula boleh mengambil O(n), purata sepanjang urutan ialah O(1).

Jawapan

A · O(1)
4.Struktur data

Jawapan: D · Menjawab pertanyaan julat (seperti hasil tambah julat) dan kemas kini dalam O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Pokok segmen menyimpan agregat untuk selang, menyokong pertanyaan julat dan kemas kini titik dalam masa O(log n).

Jawapan

D · Menjawab pertanyaan julat (seperti hasil tambah julat) dan kemas kini dalam O(log n)
5.Teori graf

Jawapan: L = 12

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12

Jawapan

L = 12

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 21

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 9, C: 14
B (9): D: 17, E: 19
C (14)
D (17): F: 28
E (19): F: 21
F (21)

Laluan terpendek

A → B → E → F
d(F) = 21

Jawapan

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms