Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Kira-kira berapa banyak perbandingan yang diperlukan oleh carian binari dalam kes terburuk pada tatasusunan tersusun 1,000,000 elemen?

  1. AKira-kira 100
  2. BKira-kira 500,000
  3. CKira-kira 1,000
  4. DKira-kira 20
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah yang akan menyusul jika seseorang menemui algoritma masa polinomial untuk satu masalah NP-lengkap?

  1. ASemua algoritma masa eksponen serta-merta berjalan dalam masa linear
  2. BHanya satu masalah itu berpindah ke dalam P
  3. CMasalah penghentian menjadi boleh diputuskan
  4. DSetiap masalah dalam NP boleh diselesaikan dalam masa polinomial, jadi P = NP
3.Struktur dataSederhana

Jenis data abstrak manakah yang digunakan oleh algoritma Dijkstra untuk memilih bucu seterusnya untuk diproses?

  1. ASet tanpa susunan
  2. BBaris gilir keutamaan min
  3. CBaris gilir FIFO
  4. DTindanan
4.Struktur dataSukar

Dalam algoritma pokok rentang minimum Kruskal, untuk apakah struktur union-find digunakan?

  1. AMemilih bucu permulaan
  2. BMengisih sisi mengikut pemberat
  3. CMenyimpan jarak semasa setiap bucu dari sumber semasa carian
  4. DMenyemak sama ada dua hujung sesuatu sisi sudah bersambung
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 5
L =
6.Teori grafSukar
13101241181475ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Kira-kira 20

Mengapa ini jawapannya

220 ≈ 1,048,576, jadi selepas kira-kira 20 pembahagian dua hanya satu elemen yang tinggal.

Jawapan

D · Kira-kira 20
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Setiap masalah dalam NP boleh diselesaikan dalam masa polinomial, jadi P = NP

Mengapa ini jawapannya

Oleh sebab seluruh NP boleh diturunkan kepada sebarang masalah NP-lengkap dalam masa polinomial, algoritma pantas untuk satu memberikan algoritma pantas untuk semua.

Jawapan

D · Setiap masalah dalam NP boleh diselesaikan dalam masa polinomial, jadi P = NP
3.Struktur data

Jawapan: B · Baris gilir keutamaan min

Mengapa ini jawapannya

Baris gilir keutamaan min, biasanya timbunan binari, mengembalikan bucu yang belum dilawati dengan jarak terkecil secara cekap.

Jawapan

B · Baris gilir keutamaan min
4.Struktur data

Jawapan: D · Menyemak sama ada dua hujung sesuatu sisi sudah bersambung

Mengapa ini jawapannya

Find memberitahu sama ada kedua-dua hujung berada dalam komponen yang sama; jika tidak, sisi ditambah dan union menggabungkan komponen.

Jawapan

D · Menyemak sama ada dua hujung sesuatu sisi sudah bersambung
5.Teori graf

Jawapan: L = 11

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Jawapan

L = 11

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 25

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 13, C: 10
C (10): E: 21, G: 17
B (13): D: 17
D (17): F: 25
G (17)
E (21)
F (25)

Laluan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 25

Jawapan

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms