Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 4 kW yang berputar pada 1440 rpm memacu pinion 16 gigi, yang bertaut dengan gear 24 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 98%. Cari tork T₁ pada aci motor.

P = 4 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 16N₂ = 24η = 98%

T₁ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 150 mm pada 1450 rpm kepada takal 450 mm; pusatnya berjarak 1200 mm. Pekali geseran ialah 0.3 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 1200 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d₁ = 150 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 450 mmC = 1200 mmμ = 0.3T₁ = 1200 N

P = kW

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 100 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 200 mm berputar 2.81° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 100 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 2.81°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 250 N·m bertindak pada B, 2 m dari A, dan tork 2000 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 2000 N·mAB = 2 mBC = 1.5 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 10 MPa dan σᵧ = −60 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 30 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 30 MPa

τ_xy = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = −80 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 60° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 40 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 70 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 50 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 40 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 15 kg pada spring berkekakuan 200 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.6. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 15 kgk = 200 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 15 kN/m dan spring bawah k₂ = 5 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₁ = 26.53 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/150.8 = 26.53 N·m

Jawapan

T₁ = 26.53 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 7.925 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.891 rad

Tegangan sisi kendur

e^μθ = e^0.8673 = 2.38, T₂ = 1200/2.38 = 504.1 N

Kuasa

P = (1200 − 504.1)·11.39 = 7.925 kW

Jawapan

P = 7.925 kW

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 25.96 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2.81·π/180 = 0.04904 rad

Modulus ricih

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(15708·0.04904) = 25961 MPa

G = 25.96 GPa

Jawapan

G = 25.96 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 81.49 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 250 = 1750 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·50³) = 81.49 MPa

Jawapan

τ_max = 81.49 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 42.43 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (10 + (−60))/2 = −25 MPa

R = σ₁ − C = 30 − (−25) = 55 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 35²) = 42.43 MPa

Jawapan

τ_xy = 42.43 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −84.64 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −20 + 60·−0.5 + −40·0.866 = −84.64 MPa

Jawapan

σ_θ = −84.64 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 7.618 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 70·1000/78.54 = 891.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 891.3/117000 = 0.007618 = 7618 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.007618·1000 mm = 7.618 mm

Jawapan

δ = 7.618 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 39.44 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·706.9/200 = 247400 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 50000·247400/443750 = 27876 N

Tegasan

σ₂ = 27876/706.9 = 39.44 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 39.44 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 4.922 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4200² = 4922 N = 4.922 kN

Jawapan

P_cr = 4.922 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 26.67 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·40000 = 100000 N

KL = 0.7·1000 = 700 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 26.67 mm

Jawapan

d = 26.67 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 105, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 14.7 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(200000/15) = 115.5 rad/s

f_n = 115.5/(2π) = 18.38 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 18.38·√(1 − 0.6²) = 14.7 Hz

Jawapan

f_d = 14.7 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 3.75 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/5 → k_eq = 15·5/(15 + 5) = 3.75 kN/m

Jawapan

k_eq = 3.75 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design