Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
Tw​ = ?z = 1, 1440 rpm

Sebuah motor 0.55 kW pada 1440 rpm menggerakkan cacing dengan 1 permulaan. Roda cacing mempunyai 40 gigi dan pemacu itu berkecekapan 55%. Cari tork keluaran Tw pada aci roda.

z = 1Nw = 40n = 1440 rpmP = 0.55 kWη = 55%
Tw = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 12B = 20C = 30D = 36

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (12 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 3000 rpm memacu gear B (20 gigi). Gear C (30 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (36 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran nout.

nin = 3000 rpmA = 12B = 20C = 30D = 36
nout = rpm
3.Kilasan aciSederhana
T = 500 N·md = 50 mmL = 2.5 mφ = ?

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
d = 25 mmT0​ = 400 N·mACBa = 1.2 mb = 2 m

Aci loyang pepejal berdiameter 25 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 400 N·m dikenakan pada C, 1.2 m dari A dan 2 m dari B. Cari sudut putaran φC keratan C, dalam darjah.

d = 25 mmT0 = 400 N·ma = 1.2 mb = 2 mG = 39 GPa
φC = °
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −70σy​ = −50τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = −70 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 40σy​ = 80τxy​ = 20MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τθ pada satah yang normalnya diputar 30° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σx = 40 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
200 kNØ4070 GPaØ120/60800 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø40120 GPaØ120/50500 mm

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 6 m20 × 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 2 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
tx10 mm2 kitaran5.3 mm

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 10 mm diikuti 2 kitaran kemudian oleh puncak 5.3 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x0 = 10 mmx2 = 5.3 mmn = 2
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 80k2​ = 30m = 25 kg

Jisim 25 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 80 kN/m dan spring bawah k₂ = 30 kN/m. Cari kekakuan setara keq sistem spring dalam kN/m.

m = 25 kgk1 = 80 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: Tw = 80.24 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju roda

nw = n·z/Nw = 1440·1/40 = 36 rpm

Tork keluaran

ωw = 2π·36/60 = 3.77 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.55·550/3.77 = 80.24 N·m

Jawapan

Tw = 80.24 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: nout = 1500 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

nB = 3000·12/20 = 1800 rpm = nC

Peringkat kedua

nout = 1800·30/36 = 1500 rpm

Jawapan

nout = 1500 rpm

nisbah keseluruhan = 2 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 4.489 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(26000·613592) = 0.07835 rad
φ = 0.07835·180/π = 4.489°

Jawapan

φ = 4.489°
4.Kilasan aci

Jawapan: φC = 11.49 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·2/3.2 = 250 N·m
TB = 400·1.2/3.2 = 150 N·m

Putaran C

Gunakan segmen AC: ia terikat pada A dan membawa TA.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 250000·1200/(39000·38350) = 0.2006 rad = 11.49°

Jawapan

φC = 11.49°
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θp = 54.22 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, −70 − −50) = 108.4°

Sudut pada unsur

θp = 54.22°

Jawapan

θp = 54.22°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τθ = 27.32 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−20·0.866 + 20·0.5 = 27.32 MPa

Jawapan

τθ = 27.32 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1893 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8.451 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·800/8.451 × 10⁸ = 0.1893 mm

Jawapan

δ = 0.1893 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 686.4 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1.373 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0005) = 0.0005 (kuprum)

Beban terbesar

Pmax = 0.0005·1.373 × 10⁹ = 686438 N = 686.4 kN

Jawapan

Pmax = 686.4 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 8.773 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/3000² = 8773 N = 8.773 kN

Jawapan

Pcr = 8.773 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 111 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa

Jawapan

σcr = 111 MPa
11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.05046

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/2)·ln(10/5.3) = 0.3174

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3174/√(39.48 + 0.1008) = 0.05046

Jawapan

ζ = 0.05046
12.Getaran mekanikal

Jawapan: keq = 21.82 kN/m

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/30 → keq = 80·30/(80 + 30) = 21.82 kN/m

Jawapan

keq = 21.82 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design