Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah cacing dengan 4 permulaan berputar pada 2900 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 80 gigi. Cari laju n_w roda itu.

z = 4N_w = 80n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (18 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 3000 rpm memacu gear B (60 gigi). Gear C (20 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (50 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 3000 rpmA = 18B = 60C = 20D = 50

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal 1.5 m panjang membawa tork 2000 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 2000 N·mL = 1.5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 75 kW pada 1500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 1° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 460 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 95 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 100 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 50 kg pada spring berkekakuan 10 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.3. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 50 kgk = 10 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada spring k₃ = 5 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 12 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_w = 145 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Laju roda

n_w = n·z/N_w = 2900·4/80 = 145 rpm

Jawapan

n_w = 145 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 360 rpm

Peringkat pertama

n_B = 3000·18/60 = 900 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 900·20/50 = 360 rpm

Jawapan

n_out = 360 rpm

nisbah keseluruhan = 8.333 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 68.4 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0.01745 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·1500/(80000·0.01745) = 2.149 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 68.4 mm

Jawapan

d = 68.4 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 43.2 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 477.5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 43.2 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(36.5, 43.2) = 43.2 mm

Jawapan

d = 43.2 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 43.03 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −50 MPa, R = √((−20)² + (−30)²) = 36.06 MPa

σ₁ = −13.94 MPa, σ₂ = −86.06 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.11, 13.94, 86.06)/2 = 43.03 MPa

Jawapan

τ_abs = 43.03 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.275

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 55 MPa, R = 112.4 MPa

σ₁ = 167.4 MPa, σ₂ = −57.36 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(167.4² − 167.4·(−57.36) + (−57.36)²) = 202.2 MPa

n = 460/202.2 = 2.275

Jawapan

n = 2.275

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.68 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 95·1000/706.9 = 134.4 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 134.4/200000 = 0.000672 = 672 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.000672·2500 mm = 1.68 mm

Jawapan

δ = 1.68 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 39.34 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 100000·276460/559203 = 49438 N

Tegasan

σ₂ = 49438/1257 = 39.34 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 39.34 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 56.06 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1000 = 700 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/700² = 56060 N = 56.06 kN

Jawapan

P_cr = 56.06 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 30.71 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa

Jawapan

σ_cr = 30.71 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 2.147 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(10000/50) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.3²) = 2.147 Hz

Jawapan

f_d = 2.147 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 1.034 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 15 + 12 = 27 kN/m

k_eq = 27·5/(27 + 5) = 4.219 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(4219/100) = 6.495 rad/s

f_n = 6.495/(2π) = 1.034 Hz

Jawapan

f_n = 1.034 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design