Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
N1​ = 18N2​ = 80

Sebuah motor 0.75 kW yang berputar pada 1500 rpm memacu pinion 18 gigi, yang bertaut dengan gear 80 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 96%. Cari tork keluaran T2 pada aci gear.

P = 0.75 kWn1 = 1500 rpmN1 = 18N2 = 80η = 96%
T2 = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 25B = 72C = 16D = 40

Sebuah motor 2.2 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (25 gigi), yang bersalingan dengan gear B (72 gigi). Gear C (16 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (40 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 95%. Cari tork keluaran Tout.

P = 2.2 kWnin = 960 rpmA = 25B = 72C = 16D = 40ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
do​ = ?T = 200 N·m

Aci berongga mesti membawa tork 200 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.8 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 200 N·mdi/do = 0.8τallow = 75 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
Td = ?

Satu aci pejal mesti menghantar 20 kW pada 500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 20 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 70σy​ = −40τxy​ = −60MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

σx = 70 MPaσy = −40 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = −60σy​ = 40τxy​ = 40MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). Cari tegasan setara von Mises σvM.

σx = −60 MPaσy = 40 MPaτxy = 40 MPa
σvM = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 25 mmLoyang2 mP = 40 kN

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 25 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø2570 GPaØ120/50500 mm

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 160 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2.5 m30 × 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 140 kNL = 1.5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 140 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 200 kN/mc = 2400 N·s/mm = 80 kg

Jisim 80 kg disokong oleh spring berkekakuan 200 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 2400 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 80 kgk = 200 kN/mc = 2400 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 15k2​ = 60m = 50 kg

Jisim 50 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 15 kN/m dan spring bawah k₂ = 60 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 50 kgk1 = 15 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T2 = 20.37 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m

Tork keluaran

T2 = 4.775·80/18·0.96 = 20.37 N·m

Jawapan

T2 = 20.37 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: Tout = 142.2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

nout = 960·(25/72)·(16/40) = 133.3 rpm
ωout = 2π·133.3/60 = 13.96 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

Pout = 2200·0.95² = 1986 W
Tout = Pout/ωout = 1986/13.96 = 142.2 N·m

Jawapan

Tout = 142.2 N·m
3.Kilasan aci

Jawapan: do = 28.44 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0.5904)) = 28.44 mm
di = 0.8·28.44 = 22.75 mm

Jawapan

do = 28.44 mm

Aci pepejal memerlukan d = 23.86 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 33.89 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·381972/(π·50)) = 33.89 mm

Jawapan

d = 33.89 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 81.39 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCτmax​

Jejari bulatan Mohr

τmax = R = √(((70 − −40)/2)² + −60²) = 81.39 MPa

Jawapan

τmax = 81.39 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σvM = 111.4 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama

C = −10 MPa, R = 64.03 MPa
σ1 = 54.03 MPa, σ2 = −74.03 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(54.03² − 54.03·(−74.03) + (−74.03)²) = 111.4 MPa

Jawapan

σvM = 111.4 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 814.9 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 40·1000/490.9 = 81.49 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 81.49/100000 = 0.0008149 = 814.9 µε

Jawapan

ε = 814.9 µε
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 537.4 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·9346 = 7.524 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0008, 0.0007143) = 0.0007143 (aluminium)

Beban terbesar

Pmax = 0.0007143·7.524 × 10⁸ = 537437 N = 537.4 kN

Jawapan

Pmax = 537.4 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 25.38 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1750² = 25379 N = 25.38 kN

Jawapan

Pcr = 25.38 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 98.17 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2.5·140000 = 350000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 98.17 mm

Jawapan

d = 98.17 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 122.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.3

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·80) = 8000 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/cc = 2400/8000 = 0.3

Jawapan

ζ = 0.3

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 2.466 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/15 + 1/60 → keq = 15·60/(15 + 60) = 12 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(12000/50) = 15.49 rad/s
fn = 15.49/(2π) = 2.466 Hz

Jawapan

fn = 2.466 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design